Systèmes et représentations/Représentation des systèmes

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On ne considérera que les systèmes linéaires, continus et invariants.

Représentation des systèmes
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Chapitre no 4
Leçon : Systèmes et représentations
Chap. préc. :Fonctions d'entrée courantes
Chap. suiv. :Fonction de transfert
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Équation différentielle modifier

Représentation modifier

L'évolution d'un système dynamique linéaire et invariant est généralement représenté par un système d'équations différentielles à coefficients constants liant les grandeurs d'entrée et de sortie. Dans le cas d'une seule équation différentielle linéaire, de la forme :  , avec n>m, n est appelé ordre du système.

On a également :   et  .

Résolution "classique" modifier

Classiquement, une équation différentielle se résout en trois étapes :

  • la résolution de l'équation sans second membre (solution générale), qui représente la solution transitoire du phénomène ;
  • la détermination d'une solution particulière de l'équation avec second membre, qui représente la composante permanente du phénomène physique ;
  • la solution "totale" est alors obtenue en réalisant la somme des deux solutions précédentes.

Résolution par transformation de Laplace modifier

La méthode par transformation de Laplace permet de ramener l'équation différentielle à une équation polynomiale algébrique en tenant compte des conditions initiales.

La résolution est donc aisée. Par transformation inverse de Laplace, on peut retrouver la solution temporelle.

 

Transformation de Laplace modifier

Définition modifier

On appelle transformée de Laplace bilatérale d'une fonction de la variable temps f la fonction F de la variable p définie de la façon suivante :

  avec   et   (  étant l'abscisse de convergence).

Pour une fonction causale, la transformée de Laplace est dite monolatérale, et on a :

  avec   et   (  étant l'abscisse de convergence).

Dans toute la suite, on notera les fonctions du domaine temporel en minuscules, et les fonctions du domaine de Laplace (domaine symbolique) en majuscules.

Si  , on dit que F est la transformée de Laplace de f.

Si  , on dit que f est la transformée inverse de Laplace de F (ou l'original de F).

Propriétés modifier

Unicité modifier

À une fonction temporelle f donnée correspond une unique fonction F du domaine symbolique, et à une fonction F du domaine symbolique correspond une unique fonction temporelle f.

Linéarité modifier

 

Théorèmes fondamentaux modifier

Théorème du facteur d'échelle modifier

 

Théorème du retard modifier

 

Théorème de l'amortissement (ou décalage fréquentiel) modifier

 

Théorème de dérivation par rapport au temps modifier

  • Dérivée première :  
  • Dérivée seconde :  

On note :

  •  
  •  

Théorème d'intégration par rapport au temps modifier

Si   et  , alors  .

Ainsi :  

À noter que si les conditions initiales sont nulles (conditions de Heaviside), c'est-à-dire le système est causal, alors :

  • dériver dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine symbolique ;
  • intégrer dans le domaine temporel revient à diviser par p dans le domaine symbolique.

Théorème du produit de convolution modifier

 

  •   est appelé produit de convolution de f par g et est noté  
  •   est appelé variable muette

Attention : le produit de deux fonctions du temps n'a pas pour transformée de Laplace le produit des transformées :  

Théorème de la valeur initiale modifier

 

Théorème de la valeur finale modifier

 

Autres transformations modifier

  •  
  •  
  •  

De façon plus générale:

  •  

Transformées usuelles modifier

f(t) F(p)
  (Dirac) 1
1