Techniques de calcul mental/Addition et soustraction

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L'addition est associative ( a + (b + c) = (a + b) + c ) et commutative ( a + b = b + a) : on peut donc associer et commuter les termes entre eux:

• 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = (1000 + 900 + 80 + 4) + (700 + 100 + 70 + 6) + (300 + 20 + 8) + (9000 + 100 + 30 + 2 + 7)
• 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = (1000 + 9000) + (900 + 100) + (700 + 300) + (80 + 20) + (70 + 30) + (4 + 6) + (2 + 8) + 100 + 7
• 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = 10 000 + 1 000 + 1 000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 7
• 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = 12 327

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Remodeler les entiers pour la soustraction

On transforme progressivement les nombres pour "arrondir" le nombre à soustraire et ainsi n'avoir plus que zéro à soustraire, en profitant du fait que

a – b = (a + c) – (b + c) = (a - d) – (b - d) .

Contrairement à l'algorithme usuel, on calcule de préférence dans l'ordre suivant : on commence le calcul par les nombres avec les valeurs (puissances) les plus élevées et on continue le calcul vers les unités (ce n’est pas obligatoire mais c’est plus commode pour la mémoire). Exemple :

1462 - 295

Lorsque le chiffre à soustraire, au cours d'une opération, est plus petit que le chiffre par lequel on doit le soustraire, on fait la soustraction directement :

1462 - 295 = (1462 - 200) - (295 - 200) = 1262 - 95

Lorsque le chiffre à soustraire est trop grand, on fait une addition, ce qui permet de matérialiser immédiatement la retenue sans avoir à la mémoriser en plus :

1262 - 95 = (1262 + 10) - (95 + 10) = 1272 - 105

Mais parfois il y a encore plus simple, car le but est d'arrondir progressivement le nombre à soustraire :

1262 - 95 = (1262 + 5) - (95 + 5) = 1267 - 100

1267 - 100 = 1167

On peut ainsi, de manière générale, utiliser un complément à 10, 100, 1000 du soustracteur (car il est aisé de soustraire 10, 40, 100, 1000, par exemple) en ajoutant le même nombre à chacun des termes de la soustraction :

$872-91=881-100=781$ (on ajoute ici 9 pour passer de 91 à 100).

Remodeler les entiers pour l'addition

Le principe reste le même, il s'agit d'arrondir et d'annuler progressivement la quantité à ajouter, mais cette fois il faut concevoir cela comme un déplacement de petits morceaux de la quantité à ajouter vers le nombre auquel on l'ajoute, ou parfois, pour éviter les retenues, dans l'autre sens.

a + (b + c) = (a + c) + b

ou

(a + c) + b = a + (b + c)

Là encore on calcule les nombres, de préférence, à partir des puissances élevées vers les unités. Exemple :

1462 + 295 = 1462 + 200 + 95 = 1662 + 95

1662 + 95 = 1667 + 90 = 1757

ou encore : 1662 - 5 + 100 = 1757