Théorème de l'angle inscrit/Angle inscrit et angle au centre

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Théorème de l'angle au centre

Énoncé

Fig. 1 : angles inscrits aigus AMB = ANB et angle au centre saillant AOB.

Fig. 2 : angle inscrit obtus AMB et angle au centre rentrant AOB.

Début d’un théorème

Théorème

La mesure d'un angle inscrit dans un cercle est égale à la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc.

Fin du théorème

Il existe donc deux situations, l'une où l'angle inscrit est aigu, donc l'angle au centre saillant (Fig. 1), l'autre où l'angle inscrit est obtus, donc l'angle au centre rentrant (Fig. 2).

Démonstration

On adopte les notations suivantes :

• C est un cercle de centre O, passant par deux points A et B, donc découpé en deux arcs ${\overset {\displaystyle \frown }{AB}}$ ;
• M est un point de C, distinct de A et B, qui détermine donc un angle inscrit, noté ${\widehat {AMB}}$ ;
• l'angle au centre qui intercepte le même arc ${\overset {\displaystyle \frown }{AB}}$ que cet angle inscrit est noté ${\widehat {AOB}}$.

Il s'agit alors de démontrer que

${\widehat {AOB}}=2{\widehat {AMB}}$.

Fig. 3 : les trois cas (a), (b) et (c).

Notons D le point de C diamétralement opposé à M et considérons trois cas, correspondant aux trois figures ci-contre :

(a) D est égal à A ou B, par exemple à B ;

(b) les cordes MA et MB sont de part et d’autre du diamètre MD ;

(c) MA et MB sont du même côté de MD.

Cas (a)

Montrons que ${\widehat {AOD}}=2{\widehat {AMD}}$.

${\widehat {MOA}}+{\widehat {AOD}}=180^{\circ }$ et ${\widehat {AMO}}={\widehat {AMD}}$ (car O appartient au segment [MD]).

${\widehat {MOA}}+2{\widehat {AMO}}=180^{\circ }$ (car le triangle MOA est isocèle en O).

donc

${\widehat {AOD}}=180^{\circ }-{\widehat {MOA}}=2{\widehat {AMO}}=2{\widehat {AMD}}$.

Cas (b)

D'après le cas (a), ${\widehat {AOD}}=2{\widehat {AMD}}$ et de même, ${\widehat {DOB}}=2{\widehat {DMB}}$ donc par somme : ${\widehat {AOB}}=2{\widehat {AMB}}$.

Cas (c)

Même raisonnement que dans le cas (b), en remplaçant « somme » par « différence ».

Théorème de l'angle inscrit

Fig. 4 : angles inscrits aigus AMB = ANB.

Fig. 5 : angles inscrits obtus AMB = ANB.

Le théorème de l'angle au centre a pour corollaire immédiat celui de l'angle inscrit :

Corollaire

Deux angles inscrits dans un cercle et interceptant le même arc ont même mesure.

Démonstration

${\widehat {AMB}}={\frac {1}{2}}{\widehat {AOB}}={\widehat {ANB}}$ (Fig. 1).