Théorème de l'angle inscrit/Version relative aux angles orientés
Avec des angles orientés, le théorème de l'angle au centre et son corollaire immédiat, le théorème de l'angle inscrit, sont plus simples, et admettent des réciproques donc s'énoncent sous la forme d'équivalences.
Théorème de l'angle au centre
modifierSoient , et trois points distincts et Γ un cercle de centre passant par et .
Le point appartient à Γ si et seulement si :
- .
Supposons que . En utilisant la relation de Chasles sur les angles orientés et le fait que les triangles et sont isocèles, on a (modulo ) :
Réciproquement, supposons que , ce qui empêche les points , et d'être alignés (l'angle n'est jamais nul). On peut donc considérer le centre du cercle circonscrit au triangle et utiliser le sens direct de la propriété :
- .
On obtient ainsi :
- .
Les triangles isocèles et ayant même base et même angle au sommet, ils sont confondus et . Le point est donc bien sur le cercle Γ.
Théorème de l'angle inscrit
modifierSoit un triangle non plat. Un point distinct de et appartient au cercle circonscrit à ce triangle si et seulement si :
- .