Théorie de la mesure/Devoir/Constructions de mesures


1°) Restriction d'une mesure extérieure en une mesure sur une sous-tribu.

Constructions de mesures
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Devoir no1
Leçon : Théorie de la mesure

Devoir de niveau 16.

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Théorie de la mesure/Devoir/Constructions de mesures
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Soient une tribu sur un ensemble , et une « mesure extérieure » sur , c'est-à-dire une application de dans telle que :

  • i)  ;
  • ii) est croissante :  ;
  • iii) est dénombrablement sous-additive : .

( est donc « presque » une mesure sur ).

a) Montrer que pour tous , .

On pose .

b) Montrer que les tels que appartiennent à .

c) Soient . Montrer que pour tout ,

.

d) Montrer que est une algèbre sur .

e) Soient , disjoints deux à deux. On pose et .

Pour tout , montrer que (), et en déduire que .

f) En déduire que et que pour tout , .

g) En déduire que est une sous-tribu de et que la restriction de à est une mesure (-additive).

2°) Un sur les compacts donne un sur les ouverts.

Soient un espace localement compact (c'est-à-dire un espace topologique dans lequel tout point admet un voisinage compact), et l'ensemble de ses compacts. (C'est une généralisation du cas est l'ensemble des fermés bornés de ). Les propriétés utiles seront, si est un compact de  :

  • i) pour tout compact , est compact ;
  • ii) pour tout ouvert , est compact et est ouvert ;
  • iii) de tout recouvrement ouvert de on peut extraire un sous-recouvrement fini : si avec ouverts, il existe fini tel que  ;
  • iv) il existe un ouvert de , contenant , et inclus dans un compact.

Soit , croissante, et telle que

, et même,
si alors (en particulier, ).

Pour tout ouvert de on pose : .

Montrer que :

a)  et est croissante, à valeurs dans  ;

b) si est inclus dans un compact, est fini ;

c)  ( ouverts) (indication : pour tout compact on posera et ) ;

d)  (pour toute suite d'ouverts ) ;

e)  pour tout compact inclus dans , .

3°) Ce sur les ouverts se prolonge en une mesure extérieure, qui donne une mesure sur les boréliens

À partir du de la question 2 on pose, pour toute partie de  :

.

Montrer que :

a) pour tout ouvert ,  ;

b) sur la tribu , est une mesure extérieure (c'est-à-dire vérifie les hypothèses de la question 1) ;

c) pour tout compact ,  ;

d) pour qu'une partie de appartienne à la sous-tribu (définie dans la question 1), il suffit que pour tout ouvert ,  ;

e) si est ouvert alors  ;

f)  contient la tribu des boréliens sur .

4°) Régularité de cette mesure.

Par construction (et d'après 3.a), toute partie de est « extérieurement régulière », c'est-à-dire vérifie :

.

On dira que est de plus « intérieurement régulier » si

.

Montrer que :

a) tout ouvert est intérieurement régulier ;

b) si et est inclus dans un compact , alors est intérieurement régulier (utiliser que est extérieurement régulier) ;

c) plus généralement, si et , alors est intérieurement régulier (utiliser (a) et (b)).

ÉPILOGUE

Dans ce problème, à partir d'un (vérifiant les hypothèses de la question 2), on a construit un qu'on a étendu en une mesure sur les boréliens de (vérifiant des propriétés supplémentaires). Cette construction classique ( donne ) permet, pour de bons choix de , de démontrer (pour localement compact) :

  • sur l'espace des fonctions continues de dans nulles hors d'un compact, toute forme linéaire positive est de la forme pour une certaine mesure (qui dépend bien sûr de ).
    C'est le théorème de représentation de Riesz.
    Pour cela, on choisit convenablement en fonction de .
  • si est muni d'une structure de groupe (non nécessairement commutatif) compatible avec sa topologie, il existe sur une mesure de Haar à gauche (c'est-à-dire non nulle et invariante par les translations à gauche).
    Pour cela, on construit un non nul invariant par ces translations.

Sur (ou même ), la mesure de Lebesgue est un cas particulier commun à ces deux applications. (Dans le premier cas, pour l'intégrale de Riemann, dans le second cas, pour la structure de groupe additif usuelle).