Théorie de la mesure/Exercices/Algèbres et tribus

Algèbres et tribus
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Exercices no1
Leçon : Théorie de la mesure
Chapitre du cours : Tribus

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Mesures
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Théorie de la mesure/Exercices/Algèbres et tribus
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Exercice 1-1

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À partir de  , on définit la suite   par récurrence :  ,  unions finies d'éléments de  .

  1. Montrer que  .
  2. En déduire que l'algèbre sur   engendrée par   est égale à  .

Exercice 1-2

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Déterminer   et   dans chacun des cas suivants :

  1.   ( ) ;
  2.   ( ) ;
  3.   ( ) ;
  4.   ( ) ;
  5.  ,   ( ), où   sont deux ensembles arbitraires.

Exercice 1-3

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Décrire la tribu sur   engendrée par les ensembles de la forme   pour  .

Exercice 1-4

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  1. Montrer que l'union d'une suite croissante d'algèbres est une algèbre.
  2. Soit   l'ensemble des suites   constituées de zéros et de uns. Pour   fixé, soient  ,   et  . Montrer que   est une tribu sur  .
  3. Montrer que la suite   est croissante.
  4. On veut montrer que la réunion   des   n'est pas une tribu. Soit  . Montrer que   appartient à la tribu engendrée par  . Montrer que tout   non vide appartenant à   contient des suites n'appartenant pas à  . En déduire que  . Conclure.

Exercice 1-5

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Continuité presque partout   mesurabilité :

Soient   et   deux espaces topologiques munis respectivement des tribus boréliennes associées   et  ,   une mesure sur  ,   la tribu complétée pour cette mesure et   une application continue  -presque-partout, c'est-à-dire telle que l'ensemble   soit  -négligeable.

Démontrer que   est mesurable de   dans  .

Indication : pour tout ouvert   de  , construire un ouvert   de   tel que

  et montrer qu'alors,  .

Exercice 1-6

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Soient   et   deux espaces mesurables.

  1. Montrer que la tribu produit   est la plus grande tribu sur   telle que si   et   sont mesurables alors   aussi.
  2. Montrer que   est la plus petite tribu sur   telle que les projections   et   soient mesurables.
  3. Montrer que la propriété précédente, pour une tribu   sur  , équivaut à : si   est mesurable alors   et   aussi.
  4. Déduire de tout ce qui précède une caractérisation de  .