Théorie de la mesure/Exercices/Algèbres et tribus
Exercice 1-1
modifierÀ partir de , on définit la suite par récurrence : , unions finies d'éléments de .
- Montrer que .
- En déduire que l'algèbre sur engendrée par est égale à .
- unions finies d'intersections finies d'éléments de est stable par complémentaires, car (en posant l'ensemble des familles telles que ) (et est fini si et les le sont), donc , à la fois stable par unions finies (comme ) et complémentaires (comme ), d'où .
- Donc est une algèbre. Or toute algèbre contenant contient nécessairement , donc l'algèbre sur engendrée par est égale à .
Remarques.
- Pour certains , il peut arriver que la suite des stationne avant . Par exemple si alors .
- On aurait pu commencer la récurrence par les unions finies.
- La construction analogue en remplaçant unions finies par unions dénombrables, n'est pas stationnaire en général, et la tribu engendrée risque même d'être plus grosse que la réunion croissante des . Cette non stationnarité s'explique par le fait que pour l'ensemble des familles telles que , si et les sont (au plus) dénombrables, ne l'est pas forcément. Exemple : , , .
Exercice 1-2
modifierDéterminer et dans chacun des cas suivants :
- ( ) ;
- ( ) ;
- ( ) ;
- ( ) ;
- , ( ), où sont deux ensembles arbitraires.
- , .
- , .
- , .
- , .
- , .
Exercice 1-3
modifierDécrire la tribu sur engendrée par les ensembles de la forme pour .
C'est la tribu pour , l'ensemble des pour .
D'après le lemme de transport, c'est donc la tribu , où .
Cette tribu est l'ensemble des pour borélien de , c'est-à-dire l'ensemble des boréliens symétriques de .
Exercice 1-4
modifier- Montrer que l'union d'une suite croissante d'algèbres est une algèbre.
- Soit l'ensemble des suites constituées de zéros et de uns. Pour fixé, soient , et . Montrer que est une tribu sur .
- Montrer que la suite est croissante.
- On veut montrer que la réunion des n'est pas une tribu. Soit . Montrer que appartient à la tribu engendrée par . Montrer que tout non vide appartenant à contient des suites n'appartenant pas à . En déduire que . Conclure.
- Soient une suite croissante d'algèbres et sa réunion. est trivialement stable par complémentaires (peu importe ici que la suite soit croissante), mais aussi par réunion, car si et alors pour , donc aussi.
- est la tribu induite par l'application et la tribu .
- .
- où , donc .
pour certains avec . Si , alors par exemple , donc . Comme de plus , on en déduit , donc , donc n'est pas une tribu. Conclusion : dans la question 1, on ne peut pas remplacer algèbres par tribus.
Exercice 1-5
modifierContinuité presque partout mesurabilité :
Soient et deux espaces topologiques munis respectivement des tribus boréliennes associées et , une mesure sur , la tribu complétée pour cette mesure et une application continue -presque-partout, c'est-à-dire telle que l'ensemble soit -négligeable.
Démontrer que est mesurable de dans .
Indication : pour tout ouvert de , construire un ouvert de tel que
- et montrer qu'alors, .
La tribu étant engendrée par les ouverts de , il suffit de montrer que pour un tel ouvert , on a .
Soit . Pour tout , est continue en et est un voisinage de , donc il existe un ouvert contenant tel que . Soit .
On a et (puisque pour chaque ) .
Posons (ainsi, ).
De on déduit ,
et de on déduit , d'où l'égalité : .
Or est ouvert (comme réunion d'ouverts) donc appartient à ,
et est -négligeable (car inclus dans ).
Donc .
Exercice 1-6
modifierSoient et deux espaces mesurables.
- Montrer que la tribu produit est la plus grande tribu sur telle que si et sont mesurables alors aussi.
- Montrer que est la plus petite tribu sur telle que les projections et soient mesurables.
- Montrer que la propriété précédente, pour une tribu sur , équivaut à : si est mesurable alors et aussi.
- Déduire de tout ce qui précède une caractérisation de .
- Soient et mesurables alors l'est aussi lorsque est muni de la tribu produit (ou a fortiori d'une tribu plus petite), car . Réciproquement, soit muni de la tribu , alors les projections et sont mesurables. Or est mesurable si et seulement si .
- On a déjà dit que sont mesurables lorsque est muni de la tribu produit (ou a fortiori d'une tribu plus grosse).
Réciproquement, si sont mesurables lorsque est muni d'une tribu , alors doit contenir les pour et les pour , donc leurs intersections , donc la tribu produit. - par composition, car et . Réciproquement, en prenant muni de la tribu et .
- C'est l'unique tribu sur telle que .