Théorie de la mesure/Introduction: Mesure sur un ensemble fini

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Introduction: Mesure sur un ensemble fini
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Chapitre no 1
Leçon : Théorie de la mesure
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Définition

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Autrement dit,   est une fonction définie de l’ensemble des parties de  ,   vers  . De plus la fonction   possède la propriété dite d'additivité.

Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

La fonction   vérifie également  . Ces deux propriétés constituent la définition d'une mesure.


Quelques exemples

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Outre l'exemple introductif, on définit la mesure de comptage sur   par  . Il s'agit en fait du cardinal de  . On a bien évidemment   pour deux sous-parties disjointes   et  , et  . Avec les notations précédentes, la mesure de comptage est en fait  , où   est la fonction identiquement égale à 1.

La fonction identiquement nulle   constitue un exemple trivial de mesure, qui correspond à  , la fonction identiquement nulle sur  .

Considérons désormais un contre-exemple. Posons  , et on associe à   la valeur  . Alors on a  ,  , mais, bien que ces deux parties soient disjointes,  

Caractérisation

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Tous les exemples de mesures présentées s'écrivent sous la forme   pour une certaine fonction positive  . On a en fait la réciproque:

Début d’un théorème
Fin du théorème


Posons  . La fonction   est bien définie sur   et à valeur positive. De plus on a bien pour tout ensemble   de  ,  , puisque   est l'union disjointe des singletons le composant.