En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Théorie de la mesure : Introduction: Mesure sur un ensemble fini Théorie de la mesure/Introduction: Mesure sur un ensemble fini », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Outre l'exemple introductif, on définit la mesure de comptage sur par . Il s'agit en fait du cardinal de . On a bien évidemment pour deux sous-parties disjointes et , et . Avec les notations précédentes, la mesure de comptage est en fait , où est la fonction identiquement égale à 1.
La fonction identiquement nulle constitue un exemple trivial de mesure, qui correspond à , la fonction identiquement nulle sur .
Considérons désormais un contre-exemple.
Posons , et on associe à la valeur . Alors on a , , mais, bien que ces deux parties soient disjointes,
Tous les exemples de mesures présentées s'écrivent sous la forme pour une certaine fonction positive . On a en fait la réciproque:
Début d’un théorème
Théorème
Soit une mesure sur . Alors il existe une fonction positive sur telle que
Fin du théorème
Posons . La fonction est bien définie sur et à valeur positive. De plus on a bien pour tout ensemble de , , puisque est l'union disjointe des singletons le composant.