Théorie des groupes/Exercices/Groupes symétriques finis

Groupes symétriques finis
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Exercices no13
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes symétriques finis

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sous-groupes caractéristiques
Exo suiv. :Groupes alternés
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes symétriques finis
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Problème 1

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a) Soient   un ensemble et   une partie de   (On ne suppose pas que   ou   soit fini.) Prouver que le groupe   est isomorphe à un sous-groupe de  

b) Soient   des nombres naturels tels que   Prouver que   est isomorphe à un sous-groupe de  

c) Soient   des nombres naturels. Prouver que   contient un sous-groupe isomorphe au produit direct  .

Problème 2

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Soit E un ensemble d'au moins trois éléments. Prouver que le centre du groupe   est réduit à l'élément neutre.

Problème 3

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Soit n un nombre naturel. Pour toute permutation   de  , désignons par   l’ensemble des inversions de   et par   la permutation   de l’ensemble des paires d'éléments de  .
Soient   et   deux permutations de  .
Prouver la relation  . (Il en résulte évidemment que le nombre d'inversions de   est congru modulo 2 à la somme des nombres d'inversions de   et de  , fait utilisé dans la théorie.)

Problème 4

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Soit X un ensemble fini, soit   un cycle dans  , soient   et   des permutations de X à supports mutuellement disjoints telles que

 

Prouver qu'une des deux permutations  ,   est égale à   et l'autre à la permutation identique de X. (C'est une sorte d' « irréductibilité » des cycles.)

Problème 5

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Soient X un ensemble et Y une partie de X, soient   et   des permutations de X coïncidant en tout point de Y. Prouver que

 ,

  est une permutation de X à support disjoint de Y.

Problème 6 (Centralisateur d'un cycle)

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a) Soient X un ensemble et   un cycle dans  . Prouver que le centralisateur de   dans   est formé par les éléments de   de la forme  , où   parcourt les puissances de   et où   parcourt les permutations de X dont le support est disjoint de celui de  

b) (Centralisateur d'un long cycle.)
Soit   un nombre naturel > 1, soit X un ensemble de cardinal   ou  , soit   un  -cycle dans   Prouver que le centralisateur de   dans   est le sous-groupe   de   engendré par  

Remarque. La dénomination « Centralisateur d'un long cycle » qu'on donne ici à l'énoncé du point b) n'est pas standard.

Problème 7

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Soit X un ensemble fini, soient   et   des cycles dans  , commutant l'un avec l'autre. Prouver qu'alors ou bien les supports de   et de   sont disjoints ou bien   et   sont puissances l'un de l'autre.

Problème 8 (Inverseurs d'un long cycle)

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Soit   un nombre naturel impair > 1, soit X un ensemble de cardinal   ou  , soit   un  -cycle dans  , soit   un élément de   tel que

 .

Prouver que   est le produit de   transpositions à supports disjoints (et est donc une involution).
(Indication : on peut utiliser le problème « Centralisateur d'un cycle ».)

Remarques. 1° L'énoncé montre que si   est impair, la signature des inverseurs de   est déterminée par   : les inverseurs de   sont des permutations paires si   et des permutations impaires si   Il n'en est pas de même si   est pair. Par exemple, le cycle   est inversé par conjugaison par  , qui est une permutation impaire, mais aussi par  , qui est une permutation paire. Le fait que, pour   impair, la signature des inverseurs de   est déterminée par   nous servira dans un exercice de la série « Premiers résultats sur les groupes simples » : si   est un nombre premier tel qu'il existe un groupe simple d'ordre  , alors  
2° La dénomination « Inverseurs d'un long cycle » qu'on donne ici à l'énoncé du présent problème n'est pas standard.

Problème 9

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Soit   un nombre naturel impair > 1, soit X un ensemble de cardinal   ou  , soient   et   deux n-cycles à supports disjoints dans  , soit   un élément d'ordre 2 (involution) de   qui commute avec   Prouver que   est le produit de   transpositions à supports deux à deux disjoints.
Indication. On peut utiliser le problème « Centralisateur d'un long cycle » ci-dessus.

Remarques. 1° Faisons toutes les hypothèses de l'énoncé sauf celle selon laquelle   est d'ordre 2. Si   et  , il n'en résulte pas forcément que   soit d'ordre 2. Prendre par exemple   et  
2° Le présent problème nous servira dans un exercice de la série Premiers résultats sur les groupes simples.

Problème 10

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Dans le groupe S4, trouver le normalisateur du sous-groupe à deux éléments  .

Problème 11

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Démontrer que tout sous-groupe d'indice n de Sn est isomorphe à Sn–1.

Problème 12 (Automorphismes de Sn)

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Soit φ un automorphisme de Sn pour n (entier ≥ 2) différent de 6.

  1. Notons Tk (pour k > 0) l'ensemble des éléments de Sn composés de k transpositions de supports disjoints. Montrer qu'il existe un entier j tel que φ(T1) = Tj.
  2. Calculer le cardinal de chaque Tk et en déduire que j = 1 (donc pour i de 2 à n, φ((1 i)) est une transposition).
  3. Montrer qu'il existe même une permutation σ ∈ Sn telle que pour tout i de 2 à n, φ((1 i)) = (σ(1) σ(i)).
  4. En déduire que l'automorphisme φ est intérieur.

Problème 13 (Le cas particulier S6)

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  1. Montrer que S5 possède 6 sous-groupes d'ordre 5 et qu'il est isomorphe à un sous-groupe transitif de SX, où X désigne l'ensemble de ces 6 sous-groupes.
  2. Soit K un sous-groupe transitif de S6 d'indice 6 (il en existe d'après la question précédente) et Y l'ensemble des six classes à gauche de S6 modulo K. Soit θ : S6 → SY ≅ S6 le morphisme représentant l'action par translation de S6 sur Y. Montrer que θ est un automorphisme.
  3. Montrer que le sous-groupe θ(K) de S6 n'est pas transitif et en déduire que θ n'est pas intérieur.