Théorie des groupes/Exercices/Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes

Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes
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Exercices no23
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Automorphismes d'un groupe cyclique
Exo suiv. :Produit semi-direct
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Théorie des groupes/Exercices/Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes
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Problème 1

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Soit G un groupe abélien fini. Pour tout élément   de G, désignons par   l'application de   dans   qui à tout homomorphisme f de G dans   fait correspondre l'élément f(x) de  . Prouver que   est un homomorphisme de   dans  , autrement dit un élément de  . Prouver que   définit un isomorphisme de   sur  . (Cela montre que, comme annoncé dans le chapitre théorique, on peut définir un isomorphisme « canonique » de   sur  .)