Théorie des groupes/Exercices/Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes

Problème 1

Soit G un groupe abélien fini. Pour tout élément $x$ de G, désignons par ${\tilde {x}}$ l'application de $G^{\star }=\mathrm {Hom} (G,\mathbb {C} ^{\times })$ dans $\mathbb {C} ^{\times }$ qui à tout homomorphisme f de G dans $\mathbb {C} ^{\times }$ fait correspondre l'élément f(x) de $\mathbb {C} ^{\times }$. Prouver que ${\tilde {x}}$ est un homomorphisme de $G^{\star }$ dans $\mathbb {C} ^{\times }$, autrement dit un élément de $G^{\star \star }$. Prouver que $x\to {\tilde {x}}$ définit un isomorphisme de $G$ sur $G^{\star \star }$. (Cela montre que, comme annoncé dans le chapitre théorique, on peut définir un isomorphisme « canonique » de $G$ sur $G^{\star \star }$.)

Solution

On notera multiplicativement par juxtaposition la loi de groupe de G et celles (multiplication point par point) de $G^{\star }$ et de $G^{\star \star }$.
Soit x un élément de G. Prouvons que

(thèse 1) ${\tilde {x}}$ est un homomorphisme de $G^{\star }$ dans $\mathbb {C} ^{\times }$.

Soient f et g deux éléments de $G^{\star }$. Alors ${\tilde {x}}(fg)=(fg)(x)=f(x)g(x)={\tilde {x}}(f){\tilde {x}}(g)$, ce qui prouve notre thèse (1).
Prouvons maintenant que

(thèse 2) $x\to {\tilde {x}}$ définit un homomorphisme de $G$ dans $G^{\star \star }$.

Soient x, y des éléments de G; il s'agit de prouver que

(thèse 3) ${\widetilde {xy}}={\tilde {x}}{\tilde {y}}$.

Pour tout élément f de $G^{\star }$, nous avons

${\widetilde {xy}}(f)=f(xy)=f(x)f(y)={\tilde {x}}(f){\tilde {y}}(f)=({\tilde {x}}{\tilde {y}})(f)$,

ce qui prouve notre thèse (3) et donc notre thèse (2), à savoir que l'application

$\psi :G\rightarrow G^{\star \star }:x\mapsto {\tilde {x}}$

est un homomorphisme.
Prouvons que

(thèse 4) l'homomorphisme $\psi$ de $G$ dans $G^{\star \star }$ est injectif.

Soit x un élément du noyau de $\psi$; il suffit de prouver que

(thèse 5) x est l'élément neutre de G.

Dire que x appartient au noyau de $\psi$ signifie que pour tout élément f de $G^{\star }$, ${\tilde {x}}(f)=1$; autrement dit,

(6) pour tout élément f de $G^{\star }$, f(x) = 1.

Il s'agit donc de prouver que si x est un élément de G tel que, pour tout homomorphisme f de G dans $\mathbb {C}$, on ait f(x) = 1, alors x = 1.
Puisque G est un groupe abélien fini, il admet une décomposition

(7) $G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}$

en somme directe (interne) de sous-groupes cycliques.
Puisque, pour tout i, $\mathbb {C} ^{\times }$ contient un sous-groupe cyclique du même ordre que $G_{i}$ et que deux groupes cycliques de même ordre sont isomorphes, il existe, pour tout i, un homomorphisme injectif $\sigma _{i}$ de $G_{i}$ dans $\mathbb {C} ^{\times }$.
Pour tout i dans {1, ... , r}, notons pr_i la i-ième projection $G\rightarrow G_{i}$ correspondant à cette décomposition (7) de G; on a vu que pr_i est un homomorphisme. (Voir chapitre Produit de groupes.) Alors $\sigma _{i}\circ \mathrm {pr} _{i}$ est un homomorphisme de G dans $\mathbb {C} ^{\times }$, donc nous pouvons faire $f=\sigma _{i}\circ \mathrm {pr} _{i}$ dans (6). Donc, pour tout i,

$\sigma _{i}\circ \mathrm {pr} _{i}(x)=1$.

Puisque l'homomorphisme $\sigma _{i}$ est injectif, cela entraîne

$\mathrm {pr} _{i}(x)=1$ pour tout i,

d'où x = 1, ce qui prouve la thèse (5) et donc la thèse (4), à savoir que l'homomorphisme $\psi$ de $G$ dans $G^{\star \star }$ est injectif. D'après le chapitre théorique, $G$ et $G^{\star \star }$ ont le même nombre (fini) d'éléments, donc $\psi$, étant injectif, doit être bijectif et est donc un isomorphisme, ce qui achève la démonstration.