Théorie des groupes/Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes

Début de la boite de navigation du chapitre

Dans ce chapitre, quelque peu trivial, nous allons voir essentiellement que si G est un groupe fini, si D(G) désigne le dérivé de G, si on connaît une décomposition du groupe abélien G/D(G) en produit direct de groupes cycliques (dans le cas où G est abélien, connaître une décomposition de G/D(G) en produit direct de groupes cycliques revient évidemment à connaître une telle décomposition de G), on peut expliciter facilement les homomorphismes de G dans le groupe multiplicatif $\mathbb {C} ^{\times }$ du corps des nombres complexes. Cela nous servira dans un chapitre ultérieur sur les caractères complexes des groupes finis.

fin de la boite de navigation du chapitre

Début d’un théorème

Énoncé 1

Soient G un groupe et A un groupe abélien, notés multiplicativement, soient f et g deux homomorphismes de G dans A. L'application $f\star g:x\to f(x)g(x)$ (produit de f et g « point par point ») est un homomorphisme de G dans A.

Fin du théorème

Démonstration (triviale). Soient x, y des éléments de G. Nous avons

$(f\star g)(xy)=f(xy)g(xy),$

d'où, puisque f et g sont des homomorphismes,

$(f\star g)(xy)=f(x)f(y)g(x)g(y).$

Puisque le groupe d'arrivée est commutatif, cela peut s'écrire

$(f\star g)(xy)=f(x)g(x)f(y)g(y),$

autrement dit

$(f\star g)(xy)=(f\star g)(x)(f\star g)(y),$

ce qui prouve que $f\star g$ est un homomorphisme de G dans A.

Début d’un théorème

Énoncé 2

Soient G un groupe et A un groupe abélien. L'ensemble Hom(G, A) des homomorphismes de G dans A, muni de la loi de composition définie point par point à partir de celle de A, est un groupe abélien dont l'élément neutre est l'homomorphisme trivial (constant de valeur neutre).

Fin du théorème

Démonstration (triviale). Notons G et A multiplicativement et notons $\star$ la loi de composition définie point par point dans Hom(G, A) à partir de celle de A.
Soient f, g, h des éléments de Hom(G, A), soit x un élément de G. Alors $(f\star g)\star h$ applique x sur $(f\star g)(x)h(x)=f(x)g(x)h(x)=f(x)(g\star h)(x)=(f\star (g\star h))(x),$ donc $(f\star g)\star h=f\star (g\star h),$, ce qui prouve que la loi $\star$ est associative.
Comme A est abélien, nous avons $(f\star g)(x)=f(x)g(x)=g(x)f(x)=(g\star f)(x),$ donc $f\star g=g\star f,$ ce qui prouve que la loi $\star$ est commutative.
Si e désigne l'homomorphisme trivial (constant de valeur 1) de G dans A, alors pour tout homomorphisme f de G dans A et pour tout élément x de G,

$(f\star e)(x)=f(x)e(x)=f(x)1=f(x),$ donc $f\star e=f$ et, de même, $e\star f=f$, donc e est neutre pour la loi $\star$.

Si f est un élément de Hom(G, A), l'application ${\check {f}}:x\to f(x)^{-1}$ est elle aussi un élément de Hom(G, A), car, pour tous x, y dans G,

${\check {f}}(xy)=f(xy)^{-1}=(f(x)f(y))^{-1}=f(y)^{-1}f(x)^{-1}={\check {f}}(y){\check {f}}(x)={\check {f}}(x){\check {f}}(y)$ puisque A est abélien.

De plus, nous avons, pour tout x dans G,

$(f\star {\check {f}})(x)=f(x){\check {f}}(x)=f(x)f(x)^{-1}=1,$

donc $f\star {\check {f}}=e$, ce qui prouve que pour tout élément f de Hom(G, A), ${\check {f}}$ est l'inverse de f pour la loi $\star$.

Quand nous parlerons du groupe Hom(G, A) (pour un groupe G et un groupe abélien A), il s'agira de la structure de groupe abélien qu'on vient de définir sur l'ensemble Hom(G, A).

Début d’un théorème

Énoncé 3

Soit A un groupe abélien, noté multiplicativement, soit n un nombre naturel. Les éléments a de A tels que $a^{n}=1$ forment un sous-groupe de A.

Fin du théorème

Démonstration. On peut dire par exemple qu'en raison de la commutativité de A, la transformation $x\to x^{n}$ de A est un endomorphisme. L'ensemble des éléments a de A tels que $a^{n}=1$ est le noyau de cet endomorphisme et est donc un sous-groupe de A.

Pour un groupe abélien G et un nombre naturel n, on notera $G_{[n]}$ le sous-groupe de G formé par les éléments x de G tels que (en notation multiplicative) $x^{n}=1$.

Début d’un théorème

Énoncé 4

Soit G un groupe cyclique d'ordre n, soit A un groupe abélien. Les groupes Hom(G, A) et $A_{[n]}$ sont isomorphes.
Plus précisément, si g est un générateur du groupe cyclique G, si $\varphi _{g}$ désigne l'application de $A_{[n]}$ dans $\mathrm {Hom} (G,A)$ qui à tout élément h de $A_{[n]}$ fait correspondre l'unique homomorphisme de G dans H qui applique g sur h, $\varphi _{g}$ est un isomorphisme du groupe $A_{[n]}$ sur le groupe $\mathrm {Hom} (G,A)$.

Fin du théorème

Démonstration. On notera G et A multiplicativement. Comme dans l'énoncé, soit g un générateur de G, c'est-à-dire un élément d'ordre n de G.
Pour alléger les notations, on écrira $\varphi$ au lieu de $\varphi _{g}$.
Soit h un élément de $A_{[n]}$. Alors h est un élément de A tel que $h^{n}=1$, donc, d'après le chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément, il existe un et un seul homomorphisme de G dans A qui applique g sur h.
Considérons l'application

$\varphi :A_{[n]}\rightarrow \mathrm {Hom} (G,A)$

qui à tout élément h de $A_{[n]}$ fait correspondre l'homomorphisme de G dans H qui applique g sur h. (Donc $\varphi$ dépend de g.)
Prouvons que $\varphi$ est un homomorphisme de groupes de $A_{[n]}$ dans Hom(G, A).
Si h, h' sont deux éléments de $A_{[n]}$, $\varphi (hh')$ est l'unique homomorphisme de G dans H qui applique g sur h h'. Or $\varphi (h)\star \varphi (h')$ (où $\star$ désigne la loi de groupe de Hom(G, A)) applique G sur h h', donc (unicité) $\varphi (hh')=\varphi (h)\star \varphi (h')$, ce qui montre bien que $\varphi$ est un homomorphisme de groupes de $A_{[n]}$ dans Hom(G, A).
Si f est un homomorphisme de G dans A, alors, puisque G est d'ordre n, f prend ses valeurs dans $A_{[n]}$. Nous pouvons donc considérer l'application

$\psi :\mathrm {Hom} (G,A)\rightarrow A_{[n]}:f\mapsto f(g).$

(L'application $\psi$ dépend de g.)
Pour tout élément h de $A_{[n]}$, $(\psi \circ \varphi )(h)$ est égal à $\psi (\varphi (h))$ et est donc la valeur de $\phi (h)$ en g. Par définition de $\phi$, la valeur de $\phi (h)$ en g est h, donc $(\psi \circ \varphi )(h)=h$, donc

(1) $\psi \circ \varphi$ est la transformation identique de $A_{[n]}.$

D'autre part, pour tout f dans Hom(G, A), nous avons

$(\varphi \circ \psi )(f)=\varphi (\psi )(f))$,

d'où, par définition de $\psi$,

(2) $(\varphi \circ \psi )(f)=\varphi (f(g)).$

Par définition de $\varphi$, $\varphi (f(g))$ est l'unique homomorphisme de G dans A qui applique g sur f(g) et cet unique homomorphisme est évidemment f. Donc la relation (2) peut s'écrire

$(\varphi \circ \psi )(f)=f,$

donc $\varphi \circ \psi$ est la transformation identique de Hom(G, A).
Joint à (1), cela montre que les applications $\varphi$ et $\psi$ sont des bijections réciproques l'une de l'autre, donc l'homomorphisme $\varphi$ est un isomorphisme de $A_{[n]}$ sur Hom(G, A).

Notation. On notera $\mathbb {C} ^{\times }$ le groupe multiplicatif du corps $\mathbb {C}$, c'est-à-dire le groupe obtenu en munissant l'ensemble des nombres complexes non nuls de la multiplication ordinaire dans $\mathbb {C}$.

Début d’un théorème

Énoncé 5

Soient G un groupe et A un groupe abélien; on suppose que G est produit direct

$G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}$

de ses sous-groupes $G_{1},\ldots ,G_{r}$. (Cela revient à dire que G est somme restreinte interne de $G_{1},\ldots ,G_{r}$.)
Alors Hom(G, A) est isomorphe au produit direct (qui, dans ce cas, est aussi la somme directe externe) des groupes $\mathrm {Hom} (G_{1},A),\ldots ,\mathrm {Hom} (G_{r},A)$.
Plus précisément, si pour tout f dans Hom(G, A) et tout i dans {1, ... , r}, on désigne par $f_{i}$ la restriction de f à G_i (autrement dit $f_{i}$ est le composé

$G_{i}{\stackrel {incl_{i}}{\rightarrow }}G{\stackrel {f}{\rightarrow }}A$,

où $incl_{i}$ désigne la i-ième inclusion $G_{i}\rightarrow G:x\to x$), alors l'application

$\varphi :\mathrm {Hom} (G,A)\rightarrow \mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A):f\to (f_{1},\ldots f_{r})$

est un isomorphisme de $\mathrm {Hom} (G,A)$ sur la somme directe externe $\mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A)$.
L'isomorphisme réciproque de $\varphi$ est l'isomorphisme

$\psi :\mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A)\rightarrow \mathrm {Hom} (G,A)$

qui applique l'élément $(f_{1},\ldots f_{r})$ de $\mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A)$ sur l'unique homomorphisme f de G dans A qui, pour tout i, coïncide avec $f_{i}$ sur $G_{i}$. (Cet homomorphisme f est tel que, pour tous $x_{1}\in G_{1},\ldots x_{r}\in G_{r}$, on ait

$f(x_{1}\cdots x_{r})=f_{1}(x_{1})\cdots f_{r}(x_{r})$.)

Fin du théorème

Démonstration. Prouvons d'abord que $\varphi$ est un homomorphisme.
On notera le produit dans $\mathrm {Hom} (G,A)$ et dans les $\mathrm {Hom} (G_{i},A)$ par juxtaposition.
Si f et g sont des éléments de $\mathrm {Hom} (G,A)$,

$\varphi (fg)$ est le r-uplet $((fg)_{1},\ldots (fg)_{r})$.

Pour tout i, $(fg)_{i}=f_{i}g_{i}$, donc le dernier résultat s'écrit

$\varphi (fg)=(f_{1}g_{1},\ldots f_{r}g_{r})$,

d'où, par définition de la loi de composition dans la somme directe externe,

$\varphi (fg)=(f_{1},\ldots f_{r})(g_{1},\ldots g_{r})$,

$\varphi (fg)=\varphi (f)\varphi (g)$,

ce qui prouve que $\varphi$ est un homomorphisme de $\mathrm {Hom} (G,A)$ sur la somme directe externe $\mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A)$.
Prouvons maintenant que cet homomorphisme est bijectif.
Il s'agit de prouver que si $(f_{i})_{1\leq i\leq r}$ est un r-uplet tel que, pour tout i, $f_{i}$ soit un homomorphisme de $G_{i}$ dans $A$, il existe un et un seul homomorphisme f de G dans A qui, pour tout i coïncide avec f_i dans G. Cela résulte de la « propriété universelle de la somme restreinte » démontrée au chapitre Produit de groupes. (On peut préciser que si un élément x de G se décompose en $x_{1}\cdots x_{r}$ avec $x_{i}\in G_{i}$ pour tout i, alors f applique x sur $f_{1}(x_{1})\cdots f_{r}(x_{r})$.)
Donc $\varphi$ est un isomorphisme.
La caractérisation de l'isomorphisme réciproque $\psi$ résulte immédiatement du fait que, pour

$(f_{1},\ldots f_{r})\in \mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A)$,

l'homomorphisme $f=\psi (f_{1},\ldots f_{r})$ doit, pour chaque i, coïncider avec f_i dans G_i.

Début d’un théorème

Énoncé 6

Soit n un nombre naturel non nul. Les racines n-ièmes de l'unité dans $\mathbb {C}$ forment un sous-groupe cyclique d'ordre n du groupe $\mathbb {C} ^{\times }$.

Fin du théorème

Démonstration. Une racine n-ième de l'unité est de valeur absolue 1, donc est de la forme $e^{\theta i}=\cos \theta +i\sin \theta$ pour un certain nombre réel $\theta$ (avec $i^{2}=-1$).
Dire qu'un tel nombre est racine n-ième de l'unité revient à dire que $e^{n\theta i}=1$, autrement dit $\cos n\theta +i\sin n\theta =1$, ce qui a lieu si et seulement si $n\theta$ est de la forme $2k\pi$ avec $k\in \mathbb {Z}$. Donc les racines n-ièmes de l'unité sont les nombres $e^{{\frac {2k\pi }{n}}i}$.
Pour deux entiers rationnels k, k', nous avons $e^{{\frac {2k\pi }{n}}i}=e^{{\frac {2k'\pi }{n}}i}$ si et seulement $k\equiv k'\mod {n}$, donc les racines de l'unité sont les n nombres distincts $e^{{\frac {2k\pi }{n}}i}$, où k parcourt 0, 1, ... , n-1. Elles forment donc un sous-groupe d'ordre n de $\mathbb {C} ^{\times }$, engendré par l'élément $e^{{\frac {2\pi }{n}}i}$, ce qui prouve l'énoncé.

Remarque. Le fait que les racines n-ièmes de l'unité dans $\mathbb {C}$ soient en nombre n exactement peut aussi se déduire des deux faits suivants : 1° le ploynôme $X^{n}-1$ se décompose en facteurs linéaires dans $\mathbb {C} [X]$ (« théorème fondamental de l'algèbre » ; 2° le polynôme $X^{n}-1$, ayant $nX^{n-1}$ pour dérivé, n'a clairement pas de racine double. Dès lors, le fait que les racines n-ièmes de l'unité dans $\mathbb {C}$ forment un groupe cyclique peut se déduire du théorème selon lequel tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique (chapitre Automorphismes d'un groupe cyclique).

Notation. Pour un groupe G, on notera $G^{\star }$ le groupe $\mathrm {Hom} (G,\mathbb {C} ^{\times })$.

Début d’un théorème

Énoncé 7

Soit G un groupe abélien fini, soit $G=<a_{1}>\times \cdots <a_{r}>$ une décomposition de G en somme directe (interne) de sous-groupes cycliques. (D'après le chapitre /Groupes commutatifs finis, 1, il existe de telles décompositions de G.)
Pour tout $i\in \{1,...,r\}$, soit $n_{i}$ l'ordre du sous-groupe $<a_{i}>$ de G, autrement dit l'ordre de $a_{i}$.
1° Pour tout r-uplet $(b_{1},\ldots ,b_{r})\in \mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$, il existe un et un seul homomorphisme $f_{b_{1},\ldots b_{r}}$ de $G$ dans $\mathbb {C} ^{\times }$ tel que, pour tout i,

$f_{b_{1},\ldots b_{r}}(a_{i})=b_{i}.$

(L'homomorphisme $f_{b_{1},\ldots b_{r}}$ dépend de $a_{1},\ldots a_{r}$, ce que la notation $f_{b_{1},\ldots b_{r}}$ laisse implicite.)
2° L'application $(b_{1},\ldots b_{r})\to f_{b_{1},\ldots b_{r}}$ est un isomorphisme du groupe $\mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$ sur le groupe $G^{\star }=\mathrm {Hom} (G,\mathbb {C} ^{\times })$.
3° Le groupe $G^{\star }$ est isomorphe à G.

Fin du théorème

Démonstration. Pour un élément b de $\mathbb {C} _{[n_{i}]}^{\times }$, désignons par $h_{i,b}$ l'unique homomorphisme de $<a_{i}>$ dans $\mathbb {C} ^{\times }$ qui applique a_i sur b. (On a rappelé l'existence de $h_{i,b}$ dans la démonstration de l'énoncé 4.)
D'après l'énoncé 4, $b\to >h_{i,b}$ définit un isomorphisme de $\mathbb {C} _{[n_{i}]}^{\times }$ sur $\mathrm {Hom} (<a_{i}>,\mathbb {C} ^{\times })=<a_{i}>^{\star }$.
Donc (chapitre Produit de groupes)

$(b_{1},\ldots ,b_{r})\to (h_{1,b_{1}},\ldots ,h_{r,b_{r}})$

définit un isomorphisme $\lambda$ de $\mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$ sur $<a_{1}>^{\star }\cdots <a_{r}>^{\star }$.
D'autre part, d'après l'énoncé 5, il existe un (et un seul) isomorphisme

$\psi :<a_{1}>^{\star }\cdots <a_{r}>^{\star }\rightarrow \mathrm {Hom} (G,\mathbb {C} ^{\star })$

tel que, pour tout $(f_{1},\ldots f_{r})\in <a_{1}>^{\star }\cdots <a_{r}>^{\star }$,

$\psi (f_{1},\ldots f_{r})$ soit l'unique homomorphisme de G dans $\mathrm {C} ^{\times }$ qui, pour tout i, coïncide avec $f_{i}$ sur $<a_{i}>^{\star }$.

Alors $\psi \circ \lambda$ est un isomorphisme de $\mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$ sur $G^{\star }$ tel que, pour tout élément $(b_{1},\ldots ,b_{r})$ de $\mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$,

$\psi \circ \lambda (b_{1},\ldots ,b_{r})$ soit l'unique homomorphisme de G dans $\mathbb {C} ^{\star }$ qui, pour tout i, coïncide avec $h_{,b_{i}}$ sur $<a_{i}>^{\star }$.

Mais l'unique homomorphisme de G dans $\mathbb {C} ^{\star }$ qui, pour tout i, coïncide avec $h_{,b_{i}}$ sur $<a_{i}>^{\star }$ est l'unique homomorphisme de G dans $\mathbb {C} ^{\star }$ qui, pour tout i, applique a_i sur b_i. Nous avons donc prouvé que
(1) pour tout élément $(b_{1},\ldots ,b_{r})$ de $\mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$, il existe un et un seul homomorphisme $f_{b_{1},\ldots b_{r}}$ de $G$ dans $\mathbb {C} ^{\times }$ tel que, pour tout i,

$f_{b_{1},\ldots b_{r}}(a_{i})=b_{i}$ ;

(2) $\psi \circ \lambda$ est un isomorphisme de $\mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$ sur $G^{\star }$ qui applique l'élément $(b_{1},\ldots ,b_{r})$ de $\mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$ sur $f_{b_{1},\ldots b_{r}}$.
Cela démontre les deux premières assertions de l'énoncé.
Nous avons vu que $\psi$ est un isomorphisme du produit externe $<a_{1}>^{\star }\cdots <a_{r}>^{\star }$ sur $G^{\star }$ ; retenons que

(3) $G^{\star }$ est isomorphe à $<a_{1}>^{\star }\cdots <a_{r}>^{\star }$.

D'autre part, en faisant $A=\mathbb {C} ^{\times }$ dans l'énoncé 4 et en tenant compte de l'énoncé 6, nous trouvons que $<a_{i}>^{\star }$ est un groupe cyclique d'ordre $n_{i}$, donc

(4) $\qquad <a_{i}>^{\star }$ est isomorphe à $a_{i}$.

D'après le chapitre Produit de groupes, il résulte de (4) que $<a_{1}>^{\star }\times <a_{r}>^{\star }$ est isomorphe à la somme directe externe $<a_{1}>\times <a_{r}>$. Comme G est lui-même isomorphe à cette somme directe externe, il résulte de (1) que $G^{\star }$ est isomorphe à G, ce qui achève la démonstration.

Remarques.
1° L'isomorphisme de G sur G* fourni par l'énoncé 7 dépend d'une décomposition de G en somme directe de sous-groupes cycliques et du choix d'un générateur dans chacun de ces groupes cycliques. L'énoncé 7 ne fournit donc pas un isomorphisme « canonique » de G sur G*.
2° Si G est un groupe abélien fini, G* en est un lui aussi (par exemple parce qu'on vient de voir que G* est isomorphe à G). Nous pouvons donc remplacer G par G* dans la partie de l'énoncé 7 selon laquelle G* est isomorphe à G. Nous trouvons ainsi que G** est isomorphe à G. On verra même dans les exercices qu'on peut définir un isomorphisme « canonique » de G sur G**.
3° L'énoncé 7 montre en particulier que si G est un groupe abélien fini, on peut expliciter les homomorphismes de G dans $\mathbb {C} ^{\star }$ de la façon suivante : on choisit une décomposition $<a_{1}>\times <a_{r}>$ de G en somme directe (interne) de sous-groupes cycliques ; $n_{i}$ désignant, pour tout i, l'ordre de $a_{i}$, on fait parcourir par $(b_{1},\ldots b_{r})$ les r-uplets formant l'ensemble $\mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$ ; à chacun de ces r-uplets, il correspond un unique homomorphisme de G dans $\mathbb {C} ^{\star }$ qui applique $a_{1}$ sur $b_{1}$, ... , $a_{r}$ sur $b_{r}$ ; deux de ces r-uplets fournissent des homomorphismes distincts et on obtient ainsi tous les homomorphismes de G dans $\mathbb {C} ^{\star }$. C'est cette partie (assez pauvre et, en somme, triviale) de l'énoncé 7 que nous utiliserons dans un chapitre sur les caractères complexes des groupes finis.
4° Soient G un groupe (non forcément abélien) et A un groupe abélien, soit $\pi$ l'homomorphisme canonique de G sur G/D(G) ; nous avons vu au chapitre Commutateurs, groupe dérivé que $g\to g\circ \pi$ définit une bijection de Hom(G/D(G), A) sur Hom(G, A). En particulier, si G est un groupe fini (non forcément abélien), $g\to g\circ \pi$ définit une bijection de $\mathrm {Hom} (G/D(G),\mathbb {C} ^{\times })$ sur $\mathrm {Hom} (G,\mathbb {C} ^{\times })$. Joint à la remarque précédente, cela permet de déterminer les homomorphismes de G dans $\mathbb {C} ^{\times }$ à partir d'une décomposition du groupe abélien G/D(G) en somme directe de sous-groupes cycliques.