Théorie des groupes/Exercices/Produit en couronne
Problème 1 (facile)
modifierSoient X et Y des ensembles. Pour tout élément de SX et tout élément y de Y, on définit comme dans le chapitre théorique. Prouver que, pour tout élément y de Y, définit un homomorphisme injectif du groupe SX dans le groupe S X × Y. (C'est le lemme 1 du chapitre théorique.)
Soient des éléments de SX, soient deux différents éléments de Y. Nous avons d'une part
- (1)
et d'autre part
- (2)
Les résultats (1) et (2) montrent que
donc définit un homomorphisme du groupe SX dans le groupe S X × Y.
Prouvons que cet homomorphisme est injectif.
Si appartient au noyau de cet homomorphisme, alors
- pour tout x dans X.
Par définition de le premier membre égale Nous avons donc pour tout x dans X, autrement dit , ce qui prouve que, comme annoncé, l'homomorphisme du groupe SX dans le groupe S X × Y est injectif.
Problème 2 (facile)
modifierSoient X et Y des ensembles, X étant non vide. Pour tout élément de SY, on définit comme dans le chapitre théorique. Prouver que définit un homomorphisme injectif du groupe SY dans le groupe S X × Y. (C'est le lemme 2 du chapitre théorique.)
Soient et des éléments de SY, soit Alors
donc
ce qui montre que définit un homomorphisme du groupe SY dans le groupe S X × Y.
Prouvons que cet homomorphisme est injectif.
Si appartient au noyau de cet homomorphisme, alors
- pour tout
Par définition de , cela signifie que
- pour tout x dans X et tout ydans Y.
Puisque X est supposé non vide, cela entraîne pour tout y dans Y, autrement dit ce qui prouve que, comme annoncé, l'homomorphisme du groupe SY dans le groupe S X × Y est injectif.
Problème 3
modifierOn a prouvé dans le chapitre théorique que pour tout nombre naturel n et tout nombre premier p,
où désigne l'exposant de p dans la décomposition du nombre naturel non nul r et où la somme du second membre s'arrête dès qu'un terme est nul. Donner une autre démonstration, en raisonnant par récurrence sur n.
L'assertion étant banale pour n = 0, on peut supposer n > 0.
Par définition de , est l'exposant de p dans le produit On peut faire abstraction des facteurs non divisibles par p, donc est l'exposant de p dans c'est-à-dire dans
Donc
- (1)
Puisque n est supposé non nul, nous avons , donc, par hypothèse de récurrence,
donc (1) peut s'écrire
- (2)
Prouvons que, pour tout nombre naturel s,
- (thèse 3)
Plus généralement, prouvons que si n est un nombre naturel et a, b des nombres naturels non nuls, alors
- (thèse 4)
Le premier membre est le plus grand nombre naturel t tel que c'est-à-dire le plus grand nombre naturel ttel que autrement dit tel que , d'où la thèse (4) et en particulier la thèse (3). En portant (3) dans (2), nous obtenons l'énoncé.