Théorie des groupes/Exercices/Théorème de Maschke
Problème 1
modifierSoit p un nombre premier, soit F un corps commutatif de caractéristique p (par exemple le corps ), soit V un F-espace vectoriel de dimension 2, soit une base de V. Désignons par f l'endomorphisme de V qui applique sur et qui laisse fixe.
a) Prouver que f est un automorphisme de V et que le sous-groupe G de GL(V) engendré par f est d'ordre fini.
On prouve par récurrence sur n que pour tout nombre naturel n, et . En faisant n = p et en tenant compte que F est de caractéristique p, on trouve que , ce qui prouve à la fois que f est un automorphisme (admettant pour réciproque) et que son ordre dans GL(V) est égal à p (car cet ordre est distinct de 1). Pour prouver que f est un automorphisme, il n'était évidemment pas nécessaire d'utiliser l'hypothèse selon laquelle F est de caractéristique non nulle, car l'endomorphisme de V qui applique sur et qui laisse fixe est de toute façon réciproque de f. On pourrait aussi se contenter de noter que le déterminant de la matrice de f dans la base est non nul.
b) Dans les notations du point a), prouver que V admet un sous-espace invariant par G qui n'a pas de supplémentaire (dans V) invariant par G et que V n'est pas complètement réductible pour G. (Cela montre que ni dans la partie 1° ni dans la partie 2° du théorème de Maschke, on ne peut supprimer l'hypothèse selon laquelle la caractéristique du corps ne divise pas l'ordre du groupe linéaire.)
Puisque est point fixe de f et que G est engendré par f, est invariant par G. Le lecteur vérifiera facilement que pour démontrer l'énoncé b), il suffit de prouver que est le seul sous-espace de dimension 1 de V qui soit invariant par G.
Soit donc , avec , un sous-espace de dimension 1 de V, invariant par G. Il s'agit de prouver que
- (thèse 1)
Soit
- (2)
la décomposition de v dans la base de V.
Puisque est supposé invariant par G = <f>, il existe un scalaire c, évidemment non nul, tel que f(v) = cv, ce qui, d'après (2), peut s'écrire
D'après la définition de f, ceci revient à
d'où, puisque est une base de V,
- (3)
et
- (4)
Si c est distinct de 1, (3) donne a = 0; si maintenant c est égal à 1, (4) donne encore a = 0. Donc a est nul dans chaque cas, donc (2) donne . Puisque v est non nul, on a donc ce qui est la thèse (1).
Problème 2
modifierSoit F un corps commutatif infini. Donner un exemple de la situation suivante (contre-exemple à une extension indue du théorème de Maschke) : V est un F-espace vectoriel de dimension finie, G un sous-groupe infini de GL(V), V admet un sous-espace invariant par G qui n'a pas de supplémentaire (dans V) invariant par G, V n'est pas complètement réductible pour G. (Indication : on peut s'inspirer de la solution du problème 1.)
Choisissons un F-espace vectoriel V de dimension 2 et une base de V. Les automorphismes de V qui fixent forment clairement un sous-groupe de GL(V). Désignons par G ce sous-groupe de GL(V). Les éléments de G sont en correspondance biunivoque avec les matrices de la forme
où a parcourt et où b parcourt F. Puisque F est infini, ces matrices sont en quantité infinie, donc G est infini. D'après la définition de G,
- (1) le sous-espace de V est invariant par G.
Prouvons que le seul sous-espace de dimension 1 de V qui soit invariant par G est . Désignons par f l'endomorphisme de V qui applique sur et qui fixe . C'est un automorphisme de V, par exemple parce qu'il admet pour réciproque l'endomorphisme de V qui applique sur et qui fixe . De plus, f appartient à V. Comme dans la solution du problème 1, on montrera que le seul sous-espace de dimension 1 de V qui soit invariant par f est . Puisque f appartient à G, un sous-espace de dimension 1 de V invariant par G doit donc être égal à . Joint à (1), cela montre que, comme annoncé, le seul sous-espace de dimension 1 de V qui soit invariant par G est . Comme dans la solution du problème 1, on en tire que V et G répondent à la question.
Problème 3 (facile)
modifierSoit F un corps commutatif, soit V un F-espace vectoriel, soit G un sous-groupe de GL(V). On suppose que V est irréductible pour G. Prouver que
Choisissons un élément a non nul de V. Le sous-espace W de V engendré par les g(a), où g parcourt G, est invariant par G et non nul, donc, puisque V est supposé irréductible pour G, W est égal à G tout entier. Donc les g(a), où g parcourt G, forment une partie génératrice de V. Comme le cardinal de cette partie génératrice est , on a donc