Théorie des groupes/Groupes résolubles

Début de la boite de navigation du chapitre


Démonstration. C'est banal si n est nul. Supposons que ce soit vrai pour un nombre naturel n et prouvons que cela reste vrai si on remplace n par n + 1. Nous avons vu dans le chapitre Commutateurs, groupe dérivé que si A et B sont des sous-groupes de , alors l'image de (A, B) par f est (f(A), f(B)). En faisant , nous trouvons

Groupes résolubles
Icône de la faculté
Chapitre no 18
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Commutateurs, groupe dérivé
Chap. suiv. :Groupes nilpotents

Exercices :

Groupes résolubles
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Théorie des groupes : Groupes résolubles
Théorie des groupes/Groupes résolubles
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.


Début d’un théorème
Fin du théorème

Par hypothèse de récurrence, nous avons et l'égalité est vraie si f' est surjectif. En passant aux dérivés, nous trouvons que et que l'égalité est vraie si f est surjectif. Il résulte donc de (1) que et que l'égalité est vraie si f est surjectif, ce qui démontre l'énoncé par récurrence sur n.

En particulier, si H est un sous-groupe d'un groupe G, Dn(H) est contenu dans Dn(G) pour tout n. (Dans le précédent théorème, faire G1 = H, G2 = G et prendre pour f l'homomorphisme inclusion de H dans G.)

Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Dans le théorème précédent, faisons G1 = G2 = G. Nous trouvons que est stable par tout endomorphisme de G, donc est caractéristique dans G.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. C'est banal si n = 0. Supposons que ce soit vrai pour un nombre naturel n et prouvons que cela reste vrai si on remplace n par n + 1. De ce que est commutatif, il résulte (chapitre Commutateurs, groupe dérivé) que Par hypothèse de récurrence, , d'où, par passage aux dérivés, . En faisant suivre ceci de (1), nous trouvons , ce qui démontre l'énoncé par récurrence sur n.


Remarques.
1) Si G est un groupe résoluble de classe n, la suite finie est évidemment strictement décroissante. (Si on avait pour un certain , l’application de aux deux membres donnerait , d'où , ce qui contredit la minimalité de n.)
2) Un groupe est résoluble de classe 0 si et seulement s'il est réduit à l'élément neutre.
3) Un groupe est résoluble de classe 1 si et seulement s'il est commutatif et non réduit à l'élément neutre. Tout groupe commutatif est résoluble.
4) Un groupe résoluble non réduit à l'élément neutre est distinct de son dérivé.
5) Un groupe G est résoluble si et seulement si D(G) est résoluble. Si D(G) est résoluble de classe n et que G n’est pas réduit à l'élément neutre (auquel cas, d’après la remarque précédente, D(G) est distinct de G), G est résoluble de classe n + 1.
6) Un groupe simple résoluble est commutatif et donc cyclique d'ordre premier. En effet, soit G un groupe simple résoluble. Puisque G est simple, il n’est pas réduit à l'élément neutre. Puisqu’il est résoluble, il résulte donc d'une précédente remarque que D(G) < G. Puisque D(G) est distingué dans G et que G est simple, on a donc D(G) = 1, donc G est commutatif. Or on a vu que tout groupe simple commutatif est cyclique d'ordre premier.
7) Un groupe simple non commutatif n’est pas résoluble. (C'est une autre formulation de la remarque précédente.)
8) Soit f un homomorphisme d'un groupe G1 dans un groupe G2. Nous avons vu que pour tout n, f(Dn(G1)) est égal à Dn(f(G1)). Il en résulte que si f est un homomorphisme partant d'un groupe G résoluble de classe n, alors f(G) est résoluble de classe ≤ n. En particulier, si H est un sous-groupe distingué de G, si G est résoluble de classe n, alors G/H est résoluble de classe ≤ n. (Considérer l'homomorphisme canonique de G sur G/H.)
9) En appliquant la remarque 8) à un isomorphisme f et à l'isomorphisme réciproque, on voit que si G est un groupe résoluble de classe n, tout groupe isomorphe à G est résoluble de classe n.
10) Nous avons vu que si H est un sous-groupe d'un groupe G, Dn(H) est contenu dans Dn(G) pour tout n. Donc si G est un groupe résoluble de classe n, tout sous-groupe de G est résoluble de classe ≤ n.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Soit π l'homomorphisme canonique de G sur G/H. Nous avons π(Dp(G)) = Dp(π (G)) = Dp(G/H). Par définition de p, Dp(G/H) = 1, donc π(Dp(G)) = 1, c'est-à-dire que Dp(G) ⊆ H. Dès lors, Dq(Dp(G)) ⊆ Dq(H), autrement dit Dp+q(G) ⊆ {1}, donc G est bien résoluble de classe ≤ p + q.
Remarque. G peut être résoluble de classe < p + q. Prendre par exemple pour G le produit direct d'un groupe commutatif non trivial H par un groupe commutatif non trivial K. Alors G, H et G/H (qui est isomorphe à K) sont tous trois résolubles de classe 1.

descriptif indisponible
Wikipedia-logo-v2.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Extension de groupes ».

Remarque. Deux groupes K et Q étant donnés, on dit qu'un groupe G est extension de K par Q s'il existe un sous-groupe normal N de G tel que N soit isomorphe à K et G/N isomorphe à Q[1]. En particulier, si H est un sous-groupe normal d'un groupe G, G est extension de H par G/H. Dans cette terminologie, le théorème qui précède montre qu'une extension d'un groupe résoluble par un groupe résoluble est elle-même un groupe résoluble.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. D'après le second théorème d'isomorphisme, HK/H est isomorphe à un quotient de K et est donc résoluble de classe ≤ p, donc HK est résoluble de classe ≤ p + q d’après le théorème précédent.

Remarque. Le produit direct d'un groupe résoluble de classe p et d'un groupe résoluble de classe q est résoluble de classe r, où r désigne le plus grand des deux nombres p et q. (Voir exercices.)

Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Supposons 1) et prouvons 2). Il suffit évidemment de prendre Gi égal à Di(G).
Il est banal que 2) entraîne 3).
Prouvons que 3) entraîne 1). Dans l'hypothèse 3), nous avons, d’après un théorème précédent, Di(G) ⊆ Gi pour tout i. C'est vrai en particulier pour i = n, donc Dn(G) = 1, donc G est résoluble de classe ≤ n, ce qui prouve 1).

Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Soit Gi/Gi+1 un quotient d'une suite de Jordan-Hölder de G. Prouvons que ce quotient est un groupe résoluble. Puisque Gi est sous-groupe du groupe résoluble G, il est résoluble. Donc Gi/Gi+1 est quotient d'un groupe résoluble et est donc résoluble comme annoncé. D'autre part, par définition d'une suite de Jordan-Hölder, Gi/Gi+1 est simple. Il est donc à la fois simple et résoluble. Nous avons vu dans une remarque que tout groupe simple résoluble est cyclique d'ordre premier, d'où l'énoncé.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Supposons d’abord G résoluble et prouvons qu’il admet une suite de composition dont tous les quotients sont cycliques d'ordre premier. Puisque G est fini, il admet une suite de Jordan-Hölder. Puisque nous supposons G résoluble, il résulte du théorème précédent que les quotients d'une telle suite sont cycliques d'ordre premier, d'où notre thèse. Réciproquement, supposons que G admette une suite de composition dont tous les quotients sont cycliques d'ordre premier. Alors ces quotients sont commutatifs, donc G est résoluble d’après l'avant-dernier théorème, partie 3) ⇒ 1).

Notes et références

modifier
  1. Certains auteurs disent « extension de Q par K » là où nous disons « extension de K par Q ». C'est le cas, par exemple, de N. Bourbaki, Algèbre, Chapitres 1 à 3 , Hermann, 1970, p. I. 62. La terminologie adoptée dans le présent cours est conforme à celle des ouvrages suivants : J. Fresnel, Groupes, Hermann, 2001, p. 19; W.R. Scott, Group Theory, réimpr. Dover, 1987, p. 210; J.S. Rose, A Course on Group Theory, réimpr. Dover, 1994, p. 202; J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage corrigé de 1999, Springer, p. 154 et D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2de édition, 1996, p. 68. Le motif du choix fait ici est semblable à celui pour lequel on a choisi entre les deux définitions de l'expression « produit semi-direct de G par H » au chapitre Produi semi-direct.