Théorie des groupes/Produit semi-direct
Opération d'un groupe sur un groupe par automorphismes
modifierSauf indication contraire, on entendra par « opération » d'un groupe une opération à gauche.
Nous avons vu qu'une opération d'un groupe G sur un ensemble X peut être vue soit comme une application (satisfaisant à certaines conditions), soit comme un homomorphisme de G dans le groupe symétrique . Si l’ensemble X est lui-même muni d'une structure de groupe et que prend ses valeurs dans le sous-groupe Aut(X) de , on dit que G opère sur le groupe X par automorphismes.
Une opération d'un groupe G sur un groupe H par automorphismes peut donc être vue soit comme un homomorphisme de G dans le groupe Aut(H), soit comme une opération (notation exponentielle gauche) qui, outre les propriétés :
- et
des opérations d'un groupe sur un ensemble, possède de plus la propriété :
- .
Nous avons noté l'opération de G sur H sous forme exponentielle, ce qui est plus agréable quand le groupe H est noté multiplicativement. Si H était noté additivement, il serait plus agréable de noter l'opération de G sur H multiplicativement.
1) L'opération d'un groupe G sur lui-même par conjugaison est une opération par automorphismes, à savoir par les automorphismes intérieurs. En effet, l'élément de correspondant à l'élément g de G est l'automorphisme intérieur de G.
2) Plus généralement, si H est un sous-groupe distingué de G, tout automorphisme intérieur de G induit un automorphisme (non forcément intérieur) de H.
L'application qui à tout élément g de G fait correspondre l'automorphisme de H est un homomorphisme de G dans Aut(H), donc une opération de G sur H par automorphismes.
3) Plus généralement, si H est un sous-groupe distingué de G et K un sous-groupe de G, l’application qui à tout élément k de K fait correspondre l'automorphisme de H est un homomorphisme de K dans Aut(H) (restriction à K de l'homomorphisme de G dans Aut(H) considéré à l'exemple précédent), donc une opération de K sur H par automorphismes.
Produit semi-direct
modifierSoient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On dit que K est un complément de H (dans G) si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
Les conditions (1) et (2) sont symétriques en H et K (pour déduire de , passer aux inverses), donc si K est un complément de H, alors H est un complément de K. On dit aussi que H et K sont complémentaires (dans G).
Dans ce cas, tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme hk avec et :
- l’existence d'une telle écriture résulte de (2) ;
- pour prouver l'unicité, notons que si h, h' sont des éléments de H et k, k' des éléments de K ; si , alors , de sorte que les deux membres appartiennent à , qui est égal à 1 d’après (1), d'où d'où et .
Ceci montre en particulier que G est équipotent au produit cartésien des ensembles sous-jacents de H et de K, donc :
- .
(Cela se déduit aussi de la formule du produit.)
Le lecteur vérifiera que, réciproquement, si H et K sont des sous-groupes de G, si tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme hk avec et , alors H et K sont complémentaires.
Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et K un sous-groupe de G. On dit que G est produit semi-direct (interne) de H par[1] K si H et K sont complémentaires.
D'après ce qui précède, tout élément de G s'écrit dans ce cas d'une et une seule façon sous la forme hk avec et .
Soient et des groupes et f un isomorphisme de sur . On suppose que est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal N de par un sous-groupe H de . Alors est produit semi-direct interne du sous-groupe normal f(N) de par le sous-groupe f(H) de .
Démonstration très facile, laissée au lecteur.
Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et K un sous-groupe de G tels que G soit produit semi-direct de H par K. Alors K est isomorphe à G/H.
Le morphisme est surjectif (puisque G = KH) et injectif (puisque K∩H = 1).
Remarques.
- Ce théorème revient à dire que tout produit semi-direct d'un groupe H par un groupe K est une extension de H par K.
- La réciproque est fausse, c'est-à-dire que si G est un groupe, H un sous-groupe normal de G et K un sous-groupe de G isomorphe à G/H, G n'est pas nécessairement produit semi-direct de H par K (exemple : G = le groupe cyclique d'ordre 4, H = son sous-groupe d'ordre 2).
Puisque H est normal dans G, nous pouvons considérer l'homomorphisme de K dans Aut(H) défini à l'exemple 3 ci-dessus. La relation (a) s'écrit :
- .
Cela nous suggère la définition suivante :
Soient H et K deux groupes et un homomorphisme de K dans le groupe . On appelle produit semi-direct (externe) de H par K relativement à et on note (ou parfois ) le produit cartésien des ensembles sous-jacents de H et de K, muni de la loi de composition interne
Si on utilise la notation exponentielle gauche pour marquer l'opération de K sur H, la loi de composition interne en question se définit par :
Soient N et H deux groupes et un homomorphisme de H dans Aut(N).
Le produit semi-direct est un groupe.
L'ensemble est un sous-groupe distingué de et l'injection canonique induit un isomorphisme de N sur .
L'ensemble est un sous-groupe de et l'injection canonique induit un isomorphisme de H sur .
Le groupe est produit semi-direct interne de par
Si n est un élément de N et h un élément de H, l'image de par l'isomorphisme est
Pour alléger les expressions, nous écrirons pour (n étant un élément de N et h un élément de H).
Prouvons que la loi de composition du produit semi-direct externe est associative. Soient n, n' et n'' des éléments de N et h, h', h'' des éléments de H. Il s'agit de prouver que
Dans le premier membre, est égal à , donc le premier membre de (1) égale , c'est-à-dire
Dans le second membre de (1), est égal à , donc le second membre de (1) vaut , c'est-à-dire , où on peut remplacer par , donc (1) est vraie. Nous avons donc prouvé l'associativité.
On vérifie facilement que (1, 1) est élément neutre et que tout élément (n, h) admet pour inverse. (Remarque : l'exponentiation à droite n'a évidemment pas le même sens que l'exponentiation à gauche.)
On laisse au lecteur le soin de vérifier que l’ensemble est un sous-groupe de , que l'injection canonique induit un isomorphisme de N sur , que l’ensemble est un sous-groupe de et que l'injection canonique induit un isomorphisme de H sur .
Le sous-groupe de est normal (car un conjugué d'un élément de a évidemment 1 pour seconde composante).
Pour le reste de l'énoncé, on se limitera à la dernière assertion. Il s'agit de prouver que, pour tout élément n de N et tout élément h de H,
Dans le second membre, on peut remplacer par et par , donc le second membre de (2) est égal à ce qui prouve la thèse.
La dernière assertion du théorème montre que si l'on identifie N × {1} à N et {1} × H à H, l'opération interne de {1} × H sur N × {1} dans (par conjugaison) s'identifie à l'opération de H sur N.
Tout produit semi-direct (interne ou externe) d'un groupe résoluble par un groupe résoluble est résoluble.
C'est un cas particulier du théorème suivant, démontré au chapitre Groupes résolubles : toute extension d'un groupe résoluble de classe q par un groupe résoluble de classe p est elle-même un groupe résoluble, de classe ≤ p + q.
Soient N et H deux groupes et un homomorphisme de H dans Aut(N). Soient L un groupe, un homomorphisme de N dans L et un homomorphisme de H dans L.
(i) Pour que l’application de dans L soit un homomorphisme, il faut et il suffit que pour tout élément n de N et tout élément h de H,
(ii) Si cette condition est satisfaite, si de plus et sont injectifs et que alors l'homomorphisme
de dans L est injectif, il induit par corestriction un isomorphisme de sur le sous-groupe de L engendré par et et ce sous-groupe de L engendré par et est produit semi-direct interne de par
Pour que l'application
de dans L soit un homomorphisme, il faut et il suffit que, pour tous dans N et tous dans H,
autrement dit
ou encore, par définition de ,
Puisque et sont des homomorphismes, cela peut encore s'écrire
ce qui équivaut à
ou encore à
Que ceci soit vrai pour tous dans N et tous dans H revient clairement à la condition exprimée dans l'assertion (i) de l'énoncé.
Supposons, comme en (ii), que notre application soit un homomorphisme (on vient de déterminer à quelle condition c'est vrai), que et soient injectifs et que ; prouvons qu'alors est injectif.
Puisque est un homomorphisme, il suffit de prouver que si n est un élément de N et h un élément de H tels que , alors n = 1 (dans N) et h = 1 (dans H).
Par définition de , l'hypothèse signifie Puisqu'on suppose , on a donc . Puisque et sont des homomorphismes injectifs, on a donc n = 1 et h = 1, ce qui, comme on l'a vu, prouve que est injectif.
Donc induit par corestriction un isomorphisme de sur
D'après un théorème ci-dessus intitulé « Produit semi-direct externe comme produit semi-direct interne », est produit semi-direct interne de par , donc, d'après un théorème ci-dessus intitulé « Image d'un produit semi-direct interne par un isomorphisme », est produit semi-direct interne de par , c'est-à-dire de par , ce qui achève la démonstration du point (ii) de l'énoncé.
Soient G un groupe, produit semi-direct (interne) d'un sous-groupe normal N par un sous-groupe H.
Désignons par l'homomorphisme de H dans Aut(N) qui, pour tout h dans H, applique h sur l'automorphisme de N défini par pour tout n dans N.
(i) L’application définit un isomorphisme du produit semi-direct externe sur le produit semi-direct interne G = NH. (ii) L'isomorphisme réciproque peut se caractériser comme l'unique isomorphisme de G sur qui, pour tout élément n de N, applique n sur (n, 1) et, pour tout élément h de H, applique h sur (1, h).
Désignons par l'homomorphisme inclusion de N dans G et par l'homomorphisme inclusion de H dans G.
Par définition de , nous avons, pour tout n dans N et tout h dans H,
ce qui peut s'écrire
De plus, les homomorphismes et sont injectifs et donc, d'après un lemme ci-dessus (intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe »),
définit un isomorphisme de sur Ceci démontre l'assertion (i) de l'énoncé. L'assertion (ii) s'en déduit facilement.
Soient G1 un groupe, produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal N par un sous-groupe H.
Soient G2 un groupe, un homomorphisme de N dans G2, un homomorphisme de H dans G2.
On suppose que, pour tout n dans N et tout h dans H,
Alors
- (i) il existe un et un seul homomorphisme, soit , de G1 dans G2 qui coïncide avec sur N et avec sur H ;
- (ii) si les homomorphismes et sont injectifs et que leurs images et se coupent trivialement, alors
- l'homomorphisme est injectif,
- il induit par corestriction un isomorphisme de G1 sur le sous-groupe de G2 engendré par et ,
- le sous-groupe de G2 engendré par et est produit semi-direct interne de par .
On pourrait refaire des raisonnements tenus dans la démonstration du lemme intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe », mais on va plutôt utiliser ce lemme.
Désignons par l'homomorphisme de H dans Aut(N) qui, pour tout h dans H, applique h sur l'automorphisme de N défini par pour tout n dans N.
D'après le théorème «Isomorphisme entre produit semi-direct interne et produit semi-direct externe », point (ii), il existe un (et un seul) isomorphisme de G1 sur tel que, pour tout n dans N et tout h dans H,
- et
L'hypothèse (de l'énoncé) peut s'écrire
donc, d'après le lemme ci-dessus intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe », point (i), l'application
est un homomorphisme de dans G2.
Donc le composé
est un homomorphisme de dans .
D'après les définitions de et de , nous avons, pour tout n dans N et tout h dans H,
- (1)
et
- (2)
Donc est un homomorphisme de dans qui coïncide avec sur N et avec sur H. Puisque N et H engendrent , est le seul homomorphisme de dans qui possède cette propriété.
Nous avons donc prouvé l'assertion (i) de l'énoncé.
Si et sont injectifs et que leurs images se coupent trivialement, alors, d'après le lemme ci-dessus intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe », point (ii), l'homomorphisme de dans G2 est injectif. Puisque est un isomorphisme, il en résulte que , égal à est injectif. Donc induit par corestriction un isomorphisme de sur D'après le théorème intitulé « Image d'un produit semi-direct interne par un isomorphisme », est donc produit semi-direct interne de par , autrement dit, d'après (1) et (2), de par . La partie (ii) de l'énoncé en résulte.
Remarques. 1) Soient H et K deux groupes, soit l'opération triviale de K sur H, c'est-à-dire l'opération pour laquelle pour tout h dans H et tout k dans K. Alors, il résulte de la définition de que est identique au produit direct .
2) Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G et K un sous-groupe de G tels que G soit produit semi-direct interne de H par K. Supposons de plus que tout élément de K commute avec tout élément de H. Alors l'opération de K sur H par automorphismes définie par pour tout h dans H et tout k dans K est l'opération triviale. Donc, d’après la remarque précédente, le produit semi-direct externe est identique au produit direct externe . D'après un théorème ci-dessus, l’application définit donc un isomorphisme du produit direct externe sur G. Par définition du produit direct interne, il en résulte que G est produit direct interne de H et de K. (On pourrait évidemment le démontrer sans passer par le produit semi-direct. Du fait que tout élément de K commute avec tout élément de H, on tire facilement que H normalise K, donc, puisque HK est égal à G tout entier, K est normal dans G et on est ramené à un théorème du chapitre sur le produit direct.)
3) La seconde projection de sur K est un homomorphisme de sur K mais la première projection n'est un homomorphisme de sur H que si l'opération est triviale (et que le produit semi-direct est donc direct).
Soient une opération d'un groupe H sur un groupe N1 par automorphismes et une opération du groupe H sur un groupe N2 par automorphismes. On dira que ces deux opérations sont équivalentes comme opérations par automorphismes (et non seulement comme opérations de groupe sur des ensembles) s'il existe un isomorphisme (et non seulement une bijection) f de N1 sur N2 tel que, pour tout élément x de N1 et tout élément y de H, on ait
Si et sont vus comme des homomorphismes de H dans Aut(N1) et de H dans Aut(N2) respectivement, cette condition sur f revient à
où désigne l'isomorphisme h ↦ f ∘ h ∘ f-1 de Aut(N1) sur Aut(N2).
Soient, pour ou , Hi et Ni des groupes, et une opération de Hi sur Ni par automorphismes. On dira que ces deux opérations sont quasi équivalentes comme opérations par automorphismes (et non seulement comme opérations de groupes sur des ensembles) s'il existe un isomorphisme g de H1 sur H2 tel que les opérations (de H1 sur N1) et (de H1 sur N2) soient équivalentes comme opérations par automorphismes.
Remarque. Dans les expressions « quasi équivalentes comme actions par automorphismes » et « équivalentes comme actions par automorphismes », nous omettrons parfois les mots « comme actions par automorphismes ».
Soient, pour ou , et des groupes, et un homomorphisme de dans .
Si les deux opérations correspondant à et à sont quasi équivalentes comme opérations par automorphismes, alors est isomorphe à .
Plus précisément, si f est un isomorphisme de N1 sur N2 et g un isomorphisme de H1 sur H2 tels que, pour tout élément x de N1 et tout élément y de H1, on ait
autrement dit
alors l'application
définit un isomorphisme de sur .
Soit l'homomorphisme de dans ; induit par corestriction un isomorphisme de sur le sous-groupe de
Soit l'homomorphisme de dans ; induit par corestriction un isomorphisme de sur le sous-groupe de
Pour prouver la seconde assertion de l'énoncé, nous avons à prouver que l'application
de dans est un isomorphisme (rappelons que le produit ci-dessus est calculé dans ). et étant bijectives, la relation pour tout dans montre que l'est aussi.
Il reste donc à prouver que est un homomorphisme. D'après un lemme ci-dessus intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe », point (i), il suffit pour cela de prouver que, pour tout x dans et tout y dans ,
- (thèse 1)
où le second membre est calculé dans .
Par définition de et de , la thèse (1) peut s'écrire
- .
En remplaçant le premier membre compte tenu des hypothèses de l'énoncé, nous mettons cette thèse sous la forme
et ceci est un cas particulier de la relation
notée dans un théorème ci-dessus (« Produit semi-direct externe comme produit semi-direct interne »).
Nous avons donc démontré la seconde assertion de l'énoncé. La première en résulte.
Produit semi-direct et opérations à droite
modifierSoit une opération à droite (par automorphismes) d'un groupe K sur un groupe H. Les auteurs qui préfèrent les opérations à droite aux opérations à gauche définissent le produit semi-direct externe de H par K (noter la différence entre les symboles et ) en munissant l’ensemble de la loi de composition interne
ou encore, si on représente par la notation exponentielle droite,
On pourrait prouver, comme on l'a fait pour une opération à gauche, que la loi ainsi définie est bien une loi de groupe, mais on peut faire d'une pierre deux coups en vérifiant (tâche facile laissée au lecteur) que si désigne l'opération à gauche de K sur H définie par
alors
définit un isomorphisme de magmas de sur Puisqu'un magma isomorphe comme magma à un groupe est lui-même un groupe et que tout isomorphisme de magmas entre groupes est un isomorphisme de groupes (voir chapitre Groupes, premières notions), nous avons prouvé que est un groupe isomorphe à .
Facteur semi-direct normal
modifierLa présente section peut être omise en première lecture.
Nous définirons un facteur semi-direct normal d'un groupe G comme un sous-groupe normal de G ayant un complément dans G. Autrement dit, N est un facteur direct normal de G si et seulement s'il existe un sous-groupe Q de G tel que G soit produit semi-direct de N par Q.
Soient G un groupe abélien et N un sous-groupe de G. Les conditions suivantes sont équivalentes :
- (i) N est un facteur semi-direct normal de G ;
- (ii) il existe un sous-groupe Q de G tel que tout élément de G s'écrive d'une et une seule façon avec et ;
- (iii) l'homomorphisme canonique admet (au moins) un homomorphisme section, c'est-à-dire qu'il existe un homomorphisme tel que soit l'automorphisme identique du groupe G/N ;
- (iv) il existe un endomorphisme de G tel que Ker = N et que
On laisse la démonstration au lecteur, car elle est à peu près identique à celle de l'équivalence des conditions (i) à (iv) d'un cas particulier démontré dans le chapitre Produit direct et somme restreinte, théorème 23. Noter que la condition (v) du cas particulier doit être omise dans le cas général.
Notes et références
modifier- ↑ Ceci est la terminologie de J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 191. D'autres auteurs disent « produit semi-direct de K par H ». C'est le cas par exemple de N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, no 1, corollaire, Paris, 1970, p. 65. On préfère dans le présent exposé l’expression « de H par K » parce qu’il sera question d'une opération de K sur H, ce qui fait apparaître K comme actif et H comme passif.