a - Nous commencerons par calculer la dérivée première :
Nous voyons que f(t) peut s'écrire :
f ( t ) = H ( t ) . 1 ω e − λ t sin ω t {\displaystyle f(t)=H(t).{\frac {1}{\omega }}e^{-\lambda t}\sin {\omega t}}
On a alors :
f ′ ( t ) = δ ( t ) . f ( 0 ) + H ( t ) . 1 ω ( − λ e − λ t sin ω t + ω e − λ t cos ω t ) = H ( t ) . e − λ t ω ( − λ sin ω t + ω cos ω t ) {\displaystyle f'(t)=\delta (t).f(0)+H(t).{\frac {1}{\omega }}\left(-\lambda e^{-\lambda t}\sin {\omega t}+\omega e^{-\lambda t}\cos {\omega t}\right)=H(t).{\frac {e^{-\lambda t}}{\omega }}\left(-\lambda \sin {\omega t}+\omega \cos {\omega t}\right)}
Calculons alors la dérivée seconde :
f ″ ( t ) = δ ( t ) . e − λ t ω ( − λ sin ω t + ω cos ω t ) + H ( x ) 1 ω [ − λ e − λ t ( − λ sin ω t + ω cos ω t ) + e − λ t ( − λ ω cos ω t − ω 2 sin ω t ) ] = δ ( t ) + H ( x ) e − λ t ω [ λ 2 sin ω t − 2 λ ω cos ω t − ω 2 sin ω t ] {\displaystyle {\begin{aligned}f''(t)&=\delta (t).{\frac {e^{-\lambda t}}{\omega }}\left(-\lambda \sin {\omega t}+\omega \cos {\omega t}\right)+H(x){\frac {1}{\omega }}\left[-\lambda e^{-\lambda t}\left(-\lambda \sin {\omega t}+\omega \cos {\omega t}\right)+e^{-\lambda t}\left(-\lambda \omega \cos {\omega t}-\omega ^{2}\sin {\omega t}\right)\right]\\&=\delta (t)+H(x){\frac {e^{-\lambda t}}{\omega }}\left[\lambda ^{2}\sin {\omega t}-2\lambda \omega \cos {\omega t}-\omega ^{2}\sin {\omega t}\right]\end{aligned}}}
b - On a :
L . f ( p ) = ∫ 0 ∞ e − p . t f ( t ) d t = ∫ 0 ∞ e − p . t 1 ω e − λ t sin ω t d t = 1 ω ∫ 0 ∞ e − ( p + λ ) . t sin ω t d t {\displaystyle {\mathcal {L}}.f(p)=\int _{0}^{\infty }e^{-p.t}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }e^{-p.t}{\frac {1}{\omega }}e^{-\lambda t}\sin {\omega t}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{\omega }}\int _{0}^{\infty }e^{-(p+\lambda ).t}\sin {\omega t}\,\mathrm {d} t}
Faisons successivement deux intégrations par partie :
L . f ( p ) = 1 ω ∫ 0 ∞ e − ( p + λ ) . t sin ω t d t = − 1 ω ( p + λ ) [ e − ( p + λ ) . t sin ω t ] 0 ∞ + 1 p + λ ∫ 0 ∞ e − ( p + λ ) . t cos ω t d t = 1 p + λ ∫ 0 ∞ e − ( p + λ ) . t cos ω t d t = − 1 ( p + λ ) 2 [ e − ( p + λ ) . t cos ω t ] 0 ∞ − ω ( p + λ ) 2 ∫ 0 ∞ e − ( p + λ ) . t sin ω t d t = 1 ( p + λ ) 2 − ω 2 ( p + λ ) 2 L . f ( p ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}.f(p)&={\frac {1}{\omega }}\int _{0}^{\infty }e^{-(p+\lambda ).t}\sin {\omega t}\,\mathrm {d} t\\&=-{\frac {1}{\omega (p+\lambda )}}\left[e^{-(p+\lambda ).t}\sin {\omega t}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {1}{p+\lambda }}\int _{0}^{\infty }e^{-(p+\lambda ).t}\cos {\omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{p+\lambda }}\int _{0}^{\infty }e^{-(p+\lambda ).t}\cos {\omega t}\,\mathrm {d} t\\&=-{\frac {1}{(p+\lambda )^{2}}}\left[e^{-(p+\lambda ).t}\cos {\omega t}\right]_{0}^{\infty }-{\frac {\omega }{(p+\lambda )^{2}}}\int _{0}^{\infty }e^{-(p+\lambda ).t}\sin {\omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{(p+\lambda )^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{(p+\lambda )^{2}}}{\mathcal {L}}.f(p)\\\end{aligned}}}
Nous avons obtenu :
L . f ( p ) + ω 2 ( p + λ ) 2 L . f ( p ) = 1 ( p + λ ) 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}.f(p)+{\frac {\omega ^{2}}{(p+\lambda )^{2}}}{\mathcal {L}}.f(p)={\frac {1}{(p+\lambda )^{2}}}}
En multipliant les deux membres par (p + λ)2 , nous avons :
L . f ( p ) ( p + λ ) 2 + ω 2 L . f ( p ) = 1 {\displaystyle {\mathcal {L}}.f(p)(p+\lambda )^{2}+\omega ^{2}{\mathcal {L}}.f(p)=1}
Soit finalement :
L . f ( p ) = 1 ( p + λ ) 2 + ω 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}.f(p)={\frac {1}{(p+\lambda )^{2}+\omega ^{2}}}}
c - Dériver une distribution revient à multiplier sa transformée de Laplace par p. On remarque que :
G ( p ) = p 2 ( p + λ ) 2 + ω 2 {\displaystyle G(p)={\frac {p^{2}}{(p+\lambda )^{2}+\omega ^{2}}}}
est la multiplication par p2 de la transformée de Laplace de f, donc correspond à la transformée de Laplace de la dérivée seconde de f qui est :
f ″ ( t ) = δ ( t ) + H ( x ) e − λ t ω [ λ 2 sin ω t − 2 λ ω cos ω t − ω 2 sin ω t ] {\displaystyle f''(t)=\delta (t)+H(x){\frac {e^{-\lambda t}}{\omega }}\left[\lambda ^{2}\sin {\omega t}-2\lambda \omega \cos {\omega t}-\omega ^{2}\sin {\omega t}\right]}
d - En passant au transformée de Laplace, on obtient :
p 2 ( p + λ ) 2 + ω 2 + 2 p ( p + λ ) 2 + ω 2 + 4 1 ( p + λ ) 2 + ω 2 = 1 {\displaystyle {\frac {p^{2}}{(p+\lambda )^{2}+\omega ^{2}}}+2{\frac {p}{(p+\lambda )^{2}+\omega ^{2}}}+4{\frac {1}{(p+\lambda )^{2}+\omega ^{2}}}=1}
qui s'écrit :
p 2 + 2 p + 4 = ( p + λ ) 2 + ω 2 {\displaystyle p^{2}+2p+4=(p+\lambda )^{2}+\omega ^{2}}
Développons le second membre :
p 2 + 2 p + 4 = p 2 + 2 λ p + λ 2 + ω 2 {\displaystyle p^{2}+2p+4=p^{2}+2\lambda p+\lambda ^{2}+\omega ^{2}}
Par identification, on obtient :
{ λ = 1 ω = 3 {\displaystyle {\begin{cases}\lambda =1\\\omega ={\sqrt {3}}\end{cases}}}
d - D'après la question précédente
f ( t ) = H ( t ) 1 3 e − t sin ( t 3 ) {\displaystyle f(t)=H(t){\frac {1}{\sqrt {3}}}e^{-t}\sin {\left(t{\sqrt {3}}\right)}}
est la solution de :
f ″ + 2 f ′ + 4 f = δ {\displaystyle f''+2f'+4f=\delta }
qui peut aussi s'écrire :
( δ ″ + 2 δ ′ + 4 δ ) ⋆ f = δ {\displaystyle (\delta ''+2\delta '+4\delta )\star f=\delta }
u ″ + 2 u ′ + 4 u = H ( t ) . e − t . cos t {\displaystyle u''+2u'+4u=H(t).e^{-t}.\cos {t}}
s'écrit aussi :
( δ ″ + 2 δ ′ + 4 δ ) ⋆ u = H ( t ) . e − t . cos t {\displaystyle (\delta ''+2\delta '+4\delta )\star u=H(t).e^{-t}.\cos {t}}
En convolant les deux membre de cette dernière relation par f, on obtient :
( δ ″ + 2 δ ′ + 4 δ ) ⋆ f ⋆ u = f ⋆ H ( t ) . e − t . cos t {\displaystyle (\delta ''+2\delta '+4\delta )\star f\star u=f\star H(t).e^{-t}.\cos {t}}
qui donne :
δ ⋆ u = f ⋆ H ( t ) . e − t . cos t {\displaystyle \delta \star u=f\star H(t).e^{-t}.\cos {t}}
soit :
u ( t ) = H ( t ) 1 3 e − t sin ( t 3 ) ⋆ H ( t ) . e − t . cos t {\displaystyle u(t)=H(t){\frac {1}{\sqrt {3}}}e^{-t}\sin {\left(t{\sqrt {3}}\right)}\star H(t).e^{-t}.\cos {t}}
Calculons ce produit de convolution :
u ( t ) = H ( t ) ∫ − ∞ ∞ H ( t − x ) 1 3 e − ( t − x ) sin ( ( t − x ) 3 ) . H ( x ) . e − x . cos x d x = H ( t ) e − t 3 ∫ 0 t sin ( ( t − x ) 3 ) . cos x d x {\displaystyle u(t)=H(t)\int _{-\infty }^{\infty }H(t-x){\frac {1}{\sqrt {3}}}e^{-(t-x)}\sin {\left((t-x){\sqrt {3}}\right)}.H(x).e^{-x}.\cos {x}\,\mathrm {d} x=H(t){\frac {e^{-t}}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{t}\sin {\left((t-x){\sqrt {3}}\right)}.\cos {x}\,\mathrm {d} x}
En utilisant la formule trigonométrique :
sin A cos B = 1 2 ( sin ( A − B ) + sin ( A + B ) ) {\displaystyle \sin A\cos B={\frac {1}{2}}(\sin(A-B)+\sin(A+B))}
on obtient :
u ( t ) = H ( t ) e − t 2 3 ∫ 0 t sin ( ( t − x ) 3 − x ) + sin ( ( t − x ) 3 + x ) d x = H ( t ) e − t 2 3 ( ∫ 0 t sin ( ( 1 + 3 ) x − t 3 ) d x − ∫ 0 t sin ( ( 1 − 3 ) x + t 3 ) d x ) = H ( t ) e − t 2 3 ( 1 1 + 3 [ cos ( ( 1 + 3 ) x − t 3 ) ] 0 t − 1 1 − 3 [ cos ( ( 1 − 3 ) x + t 3 ) ] 0 t ) = H ( t ) e − t 2 3 ( cos ( t ) − cos ( − t 3 ) 1 + 3 − cos ( t ) − cos ( t 3 ) 1 − 3 ) = H ( t ) e − t ( cos ( t ) − cos ( t 3 ) ) 2 3 ( 1 1 + 3 − 1 1 − 3 ) = H ( t ) e − t ( cos ( t ) − cos ( t 3 ) ) 2 3 × − 2 3 1 − 3 = 1 2 H ( t ) e − t ( cos ( t ) − cos ( t 3 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&=H(t){\frac {e^{-t}}{2{\sqrt {3}}}}\int _{0}^{t}\sin {\left((t-x){\sqrt {3}}-x\right)}+\sin {\left((t-x){\sqrt {3}}+x\right)}\,\mathrm {d} x\\&=H(t){\frac {e^{-t}}{2{\sqrt {3}}}}\left(\int _{0}^{t}\sin {\left((1+{\sqrt {3}})x-t{\sqrt {3}}\right)}\,\mathrm {d} x-\int _{0}^{t}\sin {\left((1-{\sqrt {3}})x+t{\sqrt {3}}\right)}\,\mathrm {d} x\right)\\&=H(t){\frac {e^{-t}}{2{\sqrt {3}}}}\left({\frac {1}{1+{\sqrt {3}}}}\left[\cos {\left((1+{\sqrt {3}})x-t{\sqrt {3}}\right)}\right]_{0}^{t}-{\frac {1}{1-{\sqrt {3}}}}\left[\cos {\left((1-{\sqrt {3}})x+t{\sqrt {3}}\right)}\right]_{0}^{t}\right)\\&=H(t){\frac {e^{-t}}{2{\sqrt {3}}}}\left({\frac {\cos {\left(t\right)}-\cos {\left(-t{\sqrt {3}}\right)}}{1+{\sqrt {3}}}}-{\frac {\cos {\left(t\right)}-\cos {\left(t{\sqrt {3}}\right)}}{1-{\sqrt {3}}}}\right)\\&=H(t){\frac {e^{-t}\left(\cos {\left(t\right)}-\cos {\left(t{\sqrt {3}}\right)}\right)}{2{\sqrt {3}}}}\left({\frac {1}{1+{\sqrt {3}}}}-{\frac {1}{1-{\sqrt {3}}}}\right)\\&=H(t){\frac {e^{-t}\left(\cos {\left(t\right)}-\cos {\left(t{\sqrt {3}}\right)}\right)}{2{\sqrt {3}}}}\times {\frac {-2{\sqrt {3}}}{1-3}}\\&={\frac {1}{2}}H(t)e^{-t}\left(\cos {\left(t\right)}-\cos {\left(t{\sqrt {3}}\right)}\right)\end{aligned}}}