On considère une particule en translation suivant un axe x, enfermée dans un puits de potentiel à murs infinis de longueur L. On suppose le potentiel nul entre les abscisses 0 et L. Cette particule est représentable par une onde plane. En choisissant le formalisme d'une onde plane monochromatique dans une cavité, on en vient à un problème d'onde stationnaire. On sait alors que la longueur d'onde est quantifiée par
λ
=
L
n
,
n
∈
N
∗
{\displaystyle \lambda ={\frac {L}{n}},~n\in \mathbb {N} ^{*}}
Ceci entraîne la quantification du vecteur d'onde :
k
→
=
n
2
π
L
u
→
x
,
n
∈
Z
{\displaystyle {\vec {k}}=n{\frac {2\pi }{L}}{\vec {u}}_{x},~n\in \mathbb {Z} }
Rappel : Le hamiltonien vaut
H
^
=
p
^
2
2
m
+
V
{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V}
On en tire la quantification de l'énergie :
E
n
x
=
p
2
2
m
=
(
2
π
ℏ
)
2
2
m
λ
2
=
(
2
π
ℏ
)
2
2
m
L
2
n
x
2
,
n
x
∈
Z
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{n_{x}}={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {(2\pi \hbar )^{2}}{2m\lambda ^{2}}}={\frac {(2\pi \hbar )^{2}}{2mL^{2}}}n_{x}^{2},~n_{x}\in \mathbb {Z} }
Si la particule est en translation dans une « boîte de potentiel » cubique de côté L, la quantification se fait dans chaque direction du mouvement :
E
n
x
,
n
y
,
n
z
=
(
2
π
ℏ
)
2
2
m
L
2
(
n
x
2
+
n
y
2
+
n
z
2
)
,
(
n
x
,
n
y
,
n
z
)
∈
Z
3
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {(2\pi \hbar )^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}),~(n_{x},n_{y},n_{z})\in \mathbb {Z} ^{3}}
Factorisation de la fonction de partition pour N particules sans interactions
modifier
Dans ce cas, la fonction de partition à N corps se factorise en un produit de N fonctions de partition à un corps.
Z
=
∏
i
=
1
N
(
∑
(
n
x
,
n
y
,
n
z
)
∈
Z
3
exp
(
−
β
E
n
x
,
n
y
,
n
z
)
)
=
∏
i
=
1
N
z
i
{\displaystyle Z=\prod _{i=1}^{N}\left(\sum _{(n_{x},n_{y},n_{z})\in \mathbb {Z} ^{3}}\exp \left(-\beta {\mathcal {E}}_{n_{x},n_{y},n_{z}}\right)\right)=\prod _{i=1}^{N}z_{i}}
où apparaissent les fonctions de partition à une particule :
z
i
=
∑
(
n
x
,
n
y
,
n
z
)
∈
Z
3
exp
(
−
β
E
n
x
,
n
y
,
n
z
)
{\displaystyle z_{i}=\sum _{(n_{x},n_{y},n_{z})\in \mathbb {Z} ^{3}}\exp \left(-\beta {\mathcal {E}}_{n_{x},n_{y},n_{z}}\right)}
La fonction de partition à une particule dans le cas unidimensionnel s'écrit :
z
=
∑
n
x
∈
Z
e
−
β
E
n
x
{\displaystyle z=\sum _{n_{x}\in \mathbb {Z} }e^{-\beta {\mathcal {E}}_{n_{x}}}}
On va justifier que cette somme peut être remplacée par une intégrale. On calcule l'écart entre deux niveaux d'énergie consécutifs :
δ
=
e
−
β
E
n
−
e
−
β
E
n
+
1
=
exp
(
−
β
(
2
π
ℏ
)
2
2
m
L
2
n
2
)
−
exp
(
−
β
(
2
π
ℏ
)
2
2
m
L
2
(
n
+
1
)
2
)
=
exp
(
−
β
(
2
π
ℏ
)
2
2
m
L
2
n
2
)
(
1
−
exp
(
−
β
(
2
π
ℏ
)
2
2
m
L
2
(
2
n
+
1
)
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\delta &=e^{-\beta {\mathcal {E}}_{n}}-e^{-\beta {\mathcal {E}}_{n+1}}\\&=\exp \left(-\beta {\frac {(2\pi \hbar )^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}\right)-\exp \left(-\beta {\frac {(2\pi \hbar )^{2}}{2mL^{2}}}(n+1)^{2}\right)\\&=\exp \left(-\beta {\frac {(2\pi \hbar )^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}\right)\left(1-\exp \left(-\beta {\frac {(2\pi \hbar )^{2}}{2mL^{2}}}(2n+1)\right)\right)\end{aligned}}}
Application aux petites particules :
Pour une masse
m
≈
10
−
26
{\displaystyle m\approx 10^{-26}}
kg dans une boîte de longueur L = 1 cm , à des températures de l’ordre d'environ 10 K :
(
2
π
ℏ
)
2
2
m
L
2
≈
2.10
−
38
J
~et~
β
≈
10
21
J
−
1
,~soit~
β
(
2
π
ℏ
)
2
2
m
L
2
=
2.10
−
17
{\displaystyle {\frac {(2\pi \hbar )^{2}}{2mL^{2}}}\approx 2.10^{-38}J{\textrm {~et~}}\beta \approx 10^{21}J^{-1}{\textrm {,~soit~}}\beta {\frac {(2\pi \hbar )^{2}}{2mL^{2}}}=2.10^{-17}}
On peut donc plus que raisonnablement considérer que pour tous les états d'énergie accessibles :
β
(
2
π
ℏ
)
2
2
m
L
2
(
2
n
+
1
)
≪
1
{\displaystyle \beta {\frac {(2\pi \hbar )^{2}}{2mL^{2}}}(2n+1)\ll 1}
On peut donc considérer les développements limités des expressions précédentes :
exp
(
−
β
(
2
π
ℏ
)
2
2
m
L
2
n
2
)
=
1
{\displaystyle \exp \left(-\beta {\frac {(2\pi \hbar )^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}\right)=1}
(
1
−
exp
(
−
β
(
2
π
ℏ
)
2
2
m
L
2
(
2
n
+
1
)
)
)
=
β
(
2
π
ℏ
)
2
2
m
L
2
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle \left(1-\exp \left(-\beta {\frac {(2\pi \hbar )^{2}}{2mL^{2}}}(2n+1)\right)\right)=\beta {\frac {(2\pi \hbar )^{2}}{2mL^{2}}}(2n+1)}
On arrive donc à :
δ
=
β
(
2
π
ℏ
)
2
2
m
L
2
(
2
n
+
1
)
⇒
δ
≪
1
{\displaystyle \delta =\beta {\frac {(2\pi \hbar )^{2}}{2mL^{2}}}(2n+1)\Rightarrow \delta \ll 1}
Début d’un principe
Approximation du continuum
On peut donc remplacer la somme
∑
n
x
∈
Z
e
−
β
E
n
x
{\displaystyle \sum _{n_{x}\in \mathbb {Z} }e^{-\beta {\mathcal {E}}_{n_{x}}}}
par l'intégrale
∫
−
∞
+
∞
e
−
β
ϵ
n
x
d
n
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-\beta \epsilon _{n_{x}}}dn_{x}}
Fin du principe
Dans l'espace, la fonction de partition à une particule devient :
z
=
∑
(
n
x
,
n
y
,
n
z
)
∈
Z
3
e
−
β
ϵ
n
x
,
n
y
,
n
z
{\displaystyle z=\sum _{(n_{x},n_{y},n_{z})\in \mathbb {Z} ^{3}}e^{-\beta \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}}}
Cette somme, grâce à la même approximation que dans le cas à une dimension, peut être remplacée par une intégrale :
∑
(
n
x
,
n
y
,
n
z
)
∈
Z
3
e
−
β
ϵ
n
x
,
n
y
,
n
z
=
∭
R
3
e
−
β
ϵ
n
x
,
n
y
,
n
z
d
n
x
d
n
y
d
n
z
{\displaystyle \sum _{(n_{x},n_{y},n_{z})\in \mathbb {Z} ^{3}}e^{-\beta \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}}=\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}e^{-\beta \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}}dn_{x}dn_{y}dn_{z}}
On se place dans une boîte cubique de côté L. La quantification des vecteurs d'onde conduit à :
{
k
→
x
2
=
n
x
2
(
2
π
)
2
L
2
d
k
x
=
(
2
π
)
L
d
n
x
k
→
y
2
=
n
y
2
(
2
π
)
2
L
2
,
(
n
x
,
n
y
,
n
z
)
∈
Z
3
d
k
y
=
(
2
π
)
L
d
n
y
k
→
z
2
=
n
z
2
(
2
π
)
2
L
2
d
k
z
=
(
2
π
)
L
d
n
z
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l|c}{\vec {k}}_{x}^{2}=n_{x}^{2}{\frac {(2\pi )^{2}}{L^{2}}}&\mathrm {d} k_{x}={\frac {(2\pi )}{L}}dn_{x}\\{\vec {k}}_{y}^{2}=n_{y}^{2}{\frac {(2\pi )^{2}}{L^{2}}},~(n_{x},n_{y},n_{z})\in \mathbb {Z} ^{3}&\mathrm {d} k_{y}={\frac {(2\pi )}{L}}\mathrm {d} n_{y}\\{\vec {k}}_{z}^{2}=n_{z}^{2}{\frac {(2\pi )^{2}}{L^{2}}}&\mathrm {d} k_{z}={\frac {(2\pi )}{L}}\mathrm {d} n_{z}\\\end{array}}\right.}
D'où
k
2
=
(
2
π
)
2
L
2
(
n
x
2
+
n
y
2
+
n
z
2
)
,
(
n
x
,
n
y
,
n
z
)
∈
Z
3
{\displaystyle k^{2}={\frac {(2\pi )^{2}}{L^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}),~(n_{x},n_{y},n_{z})\in \mathbb {Z} ^{3}}
Or
E
n
x
,
n
y
,
n
z
=
(
2
π
ℏ
)
2
2
m
L
2
(
n
x
2
+
n
y
2
+
n
z
2
)
,
(
n
x
,
n
y
,
n
z
)
∈
Z
3
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {(2\pi \hbar )^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}),~(n_{x},n_{y},n_{z})\in \mathbb {Z} ^{3}}
Donc
∑
(
n
x
,
n
y
,
n
z
)
∈
Z
3
e
−
β
E
n
x
,
n
y
,
n
z
=
∭
R
3
exp
(
−
β
ℏ
2
k
2
2
m
)
(
L
2
π
)
3
d
k
x
d
k
y
d
k
z
{\displaystyle \sum _{(n_{x},n_{y},n_{z})\in \mathbb {Z} ^{3}}e^{-\beta {\mathcal {E}}_{n_{x},n_{y},n_{z}}}=\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\exp \left(-\beta {\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\right)\left({\frac {L}{2\pi }}\right)^{3}\mathrm {d} k_{x}\mathrm {d} k_{y}\mathrm {d} k_{z}}
Finalement :
z
=
V
(
2
π
)
3
∭
R
3
exp
(
−
β
ℏ
2
k
2
2
m
)
d
k
x
d
k
y
d
k
z
{\displaystyle z={\frac {V}{(2\pi )^{3}}}\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\exp \left(-\beta {\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\right)\mathrm {d} k_{x}\mathrm {d} k_{y}\mathrm {d} k_{z}}
On reprend l’expression de la fonction de partition à une particule :
z
=
V
(
2
π
)
3
∭
R
3
exp
(
−
β
ℏ
2
k
2
2
m
)
d
k
x
d
k
y
d
k
z
=
V
(
2
π
)
3
(
∫
−
∞
+
∞
exp
(
−
β
ℏ
2
k
x
2
2
m
)
d
k
x
)
(
∫
−
∞
+
∞
exp
(
−
β
ℏ
2
k
y
2
2
m
)
d
k
y
)
(
∫
−
∞
+
∞
exp
(
−
β
ℏ
2
k
z
2
2
m
)
d
k
z
)
=
V
(
2
π
)
3
(
∫
−
∞
+
∞
e
−
β
ℏ
2
k
i
2
m
d
k
i
)
3
{\displaystyle {\begin{aligned}z&={\frac {V}{(2\pi )^{3}}}\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\exp \left(-\beta {\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\right)\mathrm {d} k_{x}\mathrm {d} k_{y}\mathrm {d} k_{z}\\&={\frac {V}{(2\pi )^{3}}}\left(\int _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-\beta {\frac {\hbar ^{2}k_{x}^{2}}{2m}}\right)\mathrm {d} k_{x}\right)\left(\int _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-\beta {\frac {\hbar ^{2}k_{y}^{2}}{2m}}\right)\mathrm {d} k_{y}\right)\left(\int _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-\beta {\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}\right)\mathrm {d} k_{z}\right)\\&={\frac {V}{(2\pi )^{3}}}\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-\beta {\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{2m}}}dk_{i}\right)^{3}\end{aligned}}}
On sait que:
∫
−
∞
+
∞
e
−
t
2
2
d
t
=
2
π
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\mathrm {d} t={\sqrt {2\pi }}}
On pose alors le changement de variable
β
ℏ
2
k
i
2
2
m
=
t
2
2
{\displaystyle \beta {\frac {\hbar ^{2}k_{i}^{2}}{2m}}={\frac {t^{2}}{2}}}
, d'où
d
k
i
=
m
β
ℏ
2
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} k_{i}={\sqrt {\frac {m}{\beta \hbar ^{2}}}}\mathrm {d} t}
∫
−
∞
+
∞
exp
(
−
β
ℏ
2
k
i
2
m
)
d
k
i
=
m
β
ℏ
2
∫
−
∞
+
∞
exp
(
−
t
2
2
)
d
t
=
2
π
m
β
ℏ
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-\beta {\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{2m}}\right)\mathrm {d} k_{i}&={\sqrt {\frac {m}{\beta \hbar ^{2}}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-{\frac {t^{2}}{2}}\right)\mathrm {d} t\\&={\sqrt {\frac {2\pi m}{\beta \hbar ^{2}}}}\end{aligned}}}
D'où la fonction de partition à une particule :
z
=
V
(
m
2
π
ℏ
2
β
)
3
{\displaystyle z=V\left({\sqrt {\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}\beta }}}\right)^{3}}
Longueur d'onde thermique de de Broglie
La quantité
2
π
ℏ
2
β
m
{\displaystyle {\sqrt {\frac {2\pi \hbar ^{2}\beta }{m}}}}
a la dimension d'une longueur.
On introduit une longueur microscopique caractéristique, la longueur d'onde thermique de de Broglie :
Λ
=
2
π
ℏ
2
m
k
B
T
{\displaystyle \Lambda ={\sqrt {\frac {2\pi \hbar ^{2}}{mk_{B}T}}}}
Physiquement, Λ correspond à l'extension spatiale du paquet d'ondes associé à la particule.
La fonction de partition à une particule devient
z
=
V
Λ
3
{\displaystyle z={\frac {V}{\Lambda ^{3}}}}
.
Remarque
On remarque que Λ augmente lorsque T diminue. Cette constatation est au cœur de la théorie des gaz ultrafroids : l'aspect particulaire du gaz doit être abandonné aux très basses températures pour expliquer les différents phénomènes qui peuvent se produire, notamment la condensation de Bose-Einstein, la superfluidité, la supraconductivité... Tous ces phénomènes sont des manifestations de la physique quantique à l'échelle macroscopique.