Thermodynamique statistique/Extension à la mécanique quantique

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Dans cette partie du cours, on va considérer un gaz de particules identiques supposé parfait.

Extension à la mécanique quantique
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Chapitre no 6
Leçon : Thermodynamique statistique
Chap. préc. :Ensemble isotherme-isobare
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Particule dans une boîte : petite incursion dans la mécanique quantique

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Cas unidimensionnel

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On considère une particule en translation suivant un axe x, enfermée dans un puits de potentiel à murs infinis de longueur L. On suppose le potentiel nul entre les abscisses 0 et L. Cette particule est représentable par une onde plane. En choisissant le formalisme d'une onde plane monochromatique dans une cavité, on en vient à un problème d'onde stationnaire. On sait alors que la longueur d'onde est quantifiée par  

Ceci entraîne la quantification du vecteur d'onde :  

Rappel : Le hamiltonien vaut  

On en tire la quantification de l'énergie :  

Cas tridimensionnel

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Si la particule est en translation dans une « boîte de potentiel » cubique de côté L, la quantification se fait dans chaque direction du mouvement :  

Expression intégrale de la fonction de partition

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Factorisation de la fonction de partition pour N particules sans interactions

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Dans ce cas, la fonction de partition à N corps se factorise en un produit de N fonctions de partition à un corps.  

où apparaissent les fonctions de partition à une particule :  

Approximation du continuum[1]

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Cas unidimensionnel

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La fonction de partition à une particule dans le cas unidimensionnel s'écrit :  

On va justifier que cette somme peut être remplacée par une intégrale. On calcule l'écart entre deux niveaux d'énergie consécutifs :

 

Application aux petites particules :

Pour une masse   kg dans une boîte de longueur L = 1 cm, à des températures de l’ordre d'environ 10 K :

 

On peut donc plus que raisonnablement considérer que pour tous les états d'énergie accessibles :  

On peut donc considérer les développements limités des expressions précédentes :

  •  
  •  

On arrive donc à :  

Début d’un principe
Fin du principe


Généralisation à l'espace

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Dans l'espace, la fonction de partition à une particule devient :

 

Cette somme, grâce à la même approximation que dans le cas à une dimension, peut être remplacée par une intégrale :  

On se place dans une boîte cubique de côté L. La quantification des vecteurs d'onde conduit à :

 

D'où  

Or  

Donc  

Finalement :  

Longueur d'onde thermique

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On reprend l’expression de la fonction de partition à une particule :

 

On sait que:  

On pose alors le changement de variable  , d'où  

 

D'où la fonction de partition à une particule :  



Physiquement, Λ correspond à l'extension spatiale du paquet d'ondes associé à la particule.

La fonction de partition à une particule devient  .



Références

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  1. « Cours de physique statistique », Claire Lhuillier