Transformées de Fourier usuelles

Le tableau qui suit présente les fonctions usuelles et leur transformée dans le cas où on utilise la convention la plus fréquente conforme à la définition mathématique.

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Intitulé : Transformées de Fourier usuelles

Formulaires

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Transformée de Fourier	Transformée de Fourier inverse

Quelques unes des démonstrations sont données dans le chapitre : Série et transformée de Fourier en physique/Fonctions utiles.

Fonction	Représentation temporelle	Représentation fréquentielle
Pic de Dirac	$\delta (t)$	$1$
Pic de Dirac décalé de $t_{0}$	$\delta _{t_{0}}(t)=\delta (t-t_{0})$	$\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t_{0}}$
Peigne de Dirac $T_{e}={\frac {1}{f_{e}}}$	$\mathrm {III} _{T_{e}}(t)$	$\mathrm {III} _{f_{e}}(f)$
Fonction porte de largeur $T_{0}$	$\Pi _{{T_{0}}/2}(t)$	${T_{0}}\cdot \mathrm {sinc} (\pi .f.{T_{0}})$
Constante	$1$	$\delta (f)$
Exponentielle complexe	$\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}$	$\delta (f-f_{0})$
Sinus	$\sin(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})$	${\frac {1}{2.\mathrm {j} }}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f-f_{0})-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f+f_{0})\right)$
Cosinus	$\cos(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})$	${\frac {1}{2}}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f-f_{0})+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f+f_{0})\right)$
Sinus cardinal	$2\cdot f_{0}\cdot {\rm {sinc}}(2\pi .f_{0}.t)$	$\Pi _{2f_{0}}(f)$

^*Représentation du spectre d'amplitude