Triangles et parallèles/Exercices/Théorème de Thalès

Théorème de Thalès
Image logo représentative de la faculté
Exercices no2
Leçon : Triangles et parallèles
Chapitre du cours : Théorème de Thalès

Exercices de niveau 9.

Exo préc. :Sujet de brevet
Exo suiv. :Sommaire
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Théorème de Thalès
Triangles et parallèles/Exercices/Théorème de Thalès
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice modifier

NAC est un triangle. On suppose que :

  • (PM) est parallèle à (AC) ; (RS) est parallèle à PM ;
  • P appartient à [AN]; M appartient à [CN]; R appartient à [MC]; S appartient à [PA] ;
  • NM = 4 cm ; NC = 12 cm ; NP = 3 cm.
 
Schéma

1. Écrire toutes les égalités qui résultent de la propriété des 3 rapport égaux en précisant le triangle concerné.

2. Calculer la longueur PA.

Exercice modifier

Démonstration : À un tiers de sa hauteur, une pyramide occupe deux tiers de son volume total modifier

Rappel sur le calcul du volume d'une pyramide modifier

Le volume d'une pyramide de hauteur  , dont la largeur de la base est  , est :

 

L'évolution du volume de la pyramide revient à tronquer celle-ci par une plus petite partant du sommet modifier

Partons du schéma ci-dessous

 

Dans le schéma, le volume de la grande pyramide vaut  , et celui de la petite pyramide vaut  

La hauteur de la pyramide tronquée peut s'obtenir à partir des hauteurs des deux pyramides par la formule :

 

On peut alors exprimer le pourcentage d’évolution de la pyramide par :

 .

Du coup  

Si on fait varier la hauteur de la petite pyramide de cette manière   alors   varie comme suit   et   varie comme suit  

Application du théorème de Thalès à la pyramide modifier

On peut appliquer le théorème de Thalès dans le schéma et relier les dimensions des deux pyramides. On obtient :  

 

Donc on peut exprimer   à partir de   et de   comme suit   ou encore  

Le remplissage de la pyramide tronquée est donc  

Ce qui donne  

Soit encore  

L’évolution du remplissage de la pyramide tronquée est égal à  

À un tiers de sa hauteur, le volume rempli de la pyramide est donc de :  , soit très proche de  

Démonstration graphique modifier

Si on trace la courbe   on peut voir effectivement qu’à un tiers de sa hauteur, il y a deux tiers du volume d'une pyramide