Triangles et parallèles/Exercices/Théorème de Thalès

Exercice

NAC est un triangle. On suppose que :

• (PM) est parallèle à (AC) ; (RS) est parallèle à PM ;
• P appartient à [AN]; M appartient à [CN]; R appartient à [MC]; S appartient à [PA] ;
• NM = 4 cm ; NC = 12 cm ; NP = 3 cm.

Schéma

1. Écrire toutes les égalités qui résultent de la propriété des 3 rapport égaux en précisant le triangle concerné.

2. Calculer la longueur PA.

Solution

1. Dans le triangle NRS :

${\frac {NP}{NR}}={\frac {NM}{NC}}={\frac {PM}{RS}}$

Dans le triangle NAC :

${\frac {NP}{NA}}={\frac {NM}{NC}}={\frac {PM}{AC}}$

${\frac {NR}{NA}}={\frac {NS}{NC}}={\frac {RS}{AC}}$

2. Dans le triangle AMC, on a :

${\frac {NP}{NA}}={\frac {NM}{NC}}={\frac {PM}{AC}}$.

Produit en croix de ${\frac {3}{x}}={\frac {12}{4}}$

Or $NA=9$ et $PA=x-3=9-3=6cm$, d'où : $PA=6cm$

 

Exercice

Démonstration : À un tiers de sa hauteur, une pyramide occupe deux tiers de son volume total

Rappel sur le calcul du volume d'une pyramide

Le volume d'une pyramide de hauteur $H$, dont la largeur de la base est $L$, est :

${\frac {HL^{2}}{3}}$

L'évolution du volume de la pyramide revient à tronquer celle-ci par une plus petite partant du sommet

Partons du schéma ci-dessous

Dans le schéma, le volume de la grande pyramide vaut $V={\frac {HL^{2}}{3}}$, et celui de la petite pyramide vaut $v={\frac {hl^{2}}{3}}$

La hauteur de la pyramide tronquée peut s'obtenir à partir des hauteurs des deux pyramides par la formule :

$\mathrm {d} h=H-h$

On peut alors exprimer le pourcentage d’évolution de la pyramide par :

$\partial h={\frac {\mathrm {d} h}{H}}$.

Du coup $h=H-\mathrm {d} h=H-H*\partial h=H(1-\partial h).$

Si on fait varier la hauteur de la petite pyramide de cette manière $h:H\searrow 0$ alors $\mathrm {d} h$ varie comme suit $0\nearrow H$ et $\partial h$ varie comme suit $0\nearrow 100\%$

Application du théorème de Thalès à la pyramide

On peut appliquer le théorème de Thalès dans le schéma et relier les dimensions des deux pyramides. On obtient : ${\frac {h}{H}}={\frac {\frac {l}{2}}{\frac {L}{2}}}={\frac {l}{L}}$

Donc on peut exprimer $l$ à partir de $L$ et de $\partial h$ comme suit $l=L*{\frac {h}{H}}$ ou encore $l=L*{\frac {H*(1-\partial h)}{H}}=L*(1-\partial h)$

Le remplissage de la pyramide tronquée est donc $VT=V-v=V-{\frac {h*l^{2}}{3}}$

Ce qui donne $VT=V-{\frac {(H(1-\partial h))*(L(1-\partial h))^{2}}{3}}=V-V*(1-\partial h)*(1-\partial h)^{2}$

Soit encore $VT=V*(1-(1-\partial h)^{3})=V*(1-(1-3\partial h+3\partial h^{2}-\partial h^{3}))=V*(3\partial h-3\partial h^{2}+\partial h^{3})$

L’évolution du remplissage de la pyramide tronquée est égal à $\partial VT={\frac {VT}{V}}=3\partial h-3\partial h^{2}+\partial h^{3}$

À un tiers de sa hauteur, le volume rempli de la pyramide est donc de : $3*{\frac {1}{3}}-3({\frac {1}{3}})^{2}+({\frac {1}{3}})^{3}=\partial VT1/3=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{27}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{27}}$, soit très proche de ${\frac {2}{3}}$

Démonstration graphique

Si on trace la courbe $3\partial h-3\partial h^{2}+\partial h^{3}$ on peut voir effectivement qu’à un tiers de sa hauteur, il y a deux tiers du volume d'une pyramide