Trigonométrie/Annexe/Les valeurs remarquables

Les valeurs remarquables
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Annexe 1
Leçon : Trigonométrie

Annexe de niveau 12.

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Le but de cette annexe est d’établir les valeurs du tableau déjà présenté au chapitre 5.

α
sin α
cos α
α
sin α
cos α

(Les personnes intéressées par un tableau plus complet peuvent consulter les Valeurs trigonométriques exactes en bibliothèque wikiversitaire)


Remarquons tout de suite qu’il suffit d’établir ces résultats pour les angles , , , et  ; par symétries d'axes et/ou sur le cercle trigonométrique, les autres données viennent trivialement. De plus, nous pouvons aussi réduire l'étude aux seuls cosinus de ces angles pour ensuite en déduire leur sinus par la symétrie d'axe .

cos(0) = 1, cos(π/2) = 0Modifier

  • Si  , le point   associé a pour abscisse   et pour ordonnée   sur le repère  . De la définition du cosinus, nous pouvons affirmer que  .
  • De façon analogue, on trouve aisément que  .

cos(π/4) = 1/Modifier

 
Triangle   pour un angle   de 45°.

Si  , le triangle   est rectangle en  . La somme des angles d’un triangle valant  , l'angle   vaut :

 

donc   est aussi isocèle en  .

Appliquons le théorème de Pythagore :

 

mais   et   donc :

 

et finalement :

 .

cos(π/3) = 1/2Modifier

 
Triangle   pour un angle   de 60°.

Si  , alors le triangle   est isocèle en   ( ). Les angles   et   sont égaux. Comme tout à l’heure, en sachant que la somme des angles d’un triangle vaut  , nous pouvons écrire :

 

On a :  . Le triangle   est équilatéral, la médiane et la médiatrice issues de chaque sommet sont donc confondues. La médiatrice issue de   coupe   en son milieu qui se trouve être  . Alors :

 .

cos(π/6) = /2Modifier

 
Triangle   pour un angle   de 30°.

Si  , le théorème de Pythagore nous dit :

 .

Par la symétrie d'axe  , comme   alors   et donc  . Ainsi :

 

d'où :

 .

RésuméModifier

 

et les symétries d'axes  ,   et   ainsi que la rotation d'angle   permettent d'en déduire toutes les valeurs du tableau.