Trigonométrie/Annexe/Les valeurs remarquables

Le but de cette annexe est d’établir, par démonstrations géométriques, les valeurs remarquables des angles usuels présents dans tableau du chapitre 5.

α	$0$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	${\frac {2\pi }{3}}$	${\frac {3\pi }{4}}$	${\frac {5\pi }{6}}$	$\pi$
sin α	$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}$	${\frac {1}{2}}$	$0$
cos α	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}$	${\frac {1}{2}}$	$0$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {2}}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-1$
α	$0$	$-{\frac {\pi }{6}}$	$-{\frac {\pi }{4}}$	$-{\frac {\pi }{3}}$	$-{\frac {\pi }{2}}$	$-{\frac {2\pi }{3}}$	$-{\frac {3\pi }{4}}$	$-{\frac {5\pi }{6}}$	$-\pi$
sin α	$0$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {2}}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-1$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {2}}}$	$-{\frac {1}{2}}$	$0$
cos α	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}$	${\frac {1}{2}}$	$0$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {2}}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-1$

(Les personnes intéressées par un tableau plus complet peuvent consulter les Valeurs trigonométriques exactes en bibliothèque wikiversitaire)

Remarquons tout de suite qu’il suffit d’établir ces résultats pour les angles $0$, ${\frac {\pi }{2}}$, ${\frac {\pi }{3}}$, ${\frac {\pi }{4}}$ et ${\frac {\pi }{6}}$ ; par symétries d'axes $x'x$ et/ou $y'y$ sur le cercle trigonométrique, les autres données viennent trivialement. De plus, nous pouvons aussi réduire l'étude aux seuls cosinus de ces angles pour ensuite en déduire leur sinus par la symétrie d'axe $\Delta \;:\;y=x$.

cos(0) = 1, cos(π/2) = 0

• Si $\alpha =0$, le point $M$ associé a pour abscisse $1$ et pour ordonnée $0$ sur le repère $(O;{\vec {i}},{\vec {j}})$. De la définition du cosinus, nous pouvons affirmer que $\cos 0=1$.
• De façon analogue, on trouve aisément que $\cos {\frac {\pi }{2}}=0$.

cos(π/4) = 1/${\sqrt {2}}$

Triangle $OS_{2}M$ pour un angle $\alpha$ de 45°.

Si $\alpha ={\frac {\pi }{4}}$, le triangle $OS_{2}M$ est rectangle en $S_{2}$. La somme des angles d’un triangle valant $\pi$, l'angle ${\widehat {OMS_{2}}}$ vaut :

${\widehat {OMS_{2}}}=\pi -{\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}={\frac {\pi }{4}}$

donc $OS_{2}M$ est aussi isocèle en $S_{2}$.

Appliquons le théorème de Pythagore :

$OS_{2}^{2}+S_{2}M^{2}=OM^{2}$

mais $OS_{2}=S_{2}M$ et $OM=1$ donc :

$2OS_{2}^{2}=1$

et finalement :

$\cos {\frac {\pi }{4}}=OS_{2}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}={{\sqrt {2}} \over 2}$.

cos(π/3) = 1/2

Triangle $OS_{2}M$ pour un angle $\alpha$ de 60°.

Si $\alpha ={\frac {\pi }{3}}$, alors le triangle $IOM$ est isocèle en $O$ ($OM=OI=1$). Les angles ${\widehat {OMI}}$ et ${\widehat {MIO}}$ sont égaux. Comme tout à l’heure, en sachant que la somme des angles d’un triangle vaut $\pi$, nous pouvons écrire :

${\begin{aligned}{\widehat {IOM}}+{\widehat {OMI}}+{\widehat {MIO}}&=\pi \\{\frac {\pi }{3}}+2{\widehat {OMI}}&=\pi \\2{\widehat {OMI}}&={\frac {2\pi }{3}}\\{\widehat {OMI}}&={\frac {\pi }{3}}.\end{aligned}}$

On a : ${\widehat {IOM}}={\widehat {OMI}}={\widehat {MIO}}={\frac {\pi }{3}}$. Le triangle $IOM$ est équilatéral, la médiane et la médiatrice issues de chaque sommet sont donc confondues. La médiatrice issue de $M$ coupe $[OI]$ en son milieu qui se trouve être $S_{2}$. Alors :

$\cos {\frac {\pi }{3}}=OS_{2}={\frac {1}{2}}$.

cos(π/6) = ${\sqrt {3}}$/2

Triangle $OS_{2}M$ pour un angle $\alpha$ de 30°.

Si $\alpha ={\frac {\pi }{6}}$, le théorème de Pythagore nous dit :

$OS_{2}^{2}=OM^{2}-S_{2}M^{2}$.

Par la symétrie d'axe $\Delta :y=x$, comme $\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}$ alors $\sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{2}}$ et donc $S_{2}M={\frac {1}{2}}$. Ainsi :

$\cos ^{2}{\frac {\pi }{6}}=1-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{4}}$

d'où :

$\cos {\frac {\pi }{6}}={\sqrt {\frac {3}{4}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

Résumé

$\cos 0=1,\quad \cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}},\quad \cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad \cos {\frac {\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}},\quad \cos {\frac {\pi }{2}}=0$

et les symétries d'axes $\Delta \;:\;y=x$, $(Ox)$ et $(Oy)$ ainsi que la rotation d'angle $\pi$ permettent d'en déduire toutes les valeurs du tableau.