Trigonométrie/Cercle trigonométrique

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Cercle trigonométrique
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Chapitre no 1
Leçon : Trigonométrie
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Trigonométrie/Cercle trigonométrique
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Présentation du cercle trigonométriqueModifier

Soit   un repère orthonormé. Nous pouvons y construire un cercle   de centre   et de rayon égal à la norme de   (et  ). Les vecteurs   et   étant unitaires, ce cercle a pour rayon 1.

 
Le cercle trigonométrique.

Il faut voir le cercle trigonométrique comme un axe, à l'image de l’axe des réels, mais « enroulé » pour donner sa forme circulaire. Ainsi, il nous faut le munir d’un point origine, d’une unité de longueur et d’une orientation. L'origine sera le point   d'abscisse 1 et l'unité de longueur va être la même que celle du repère. Nous poserons comme orientation le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens trigonométrique.

Le périmètre du cercle   est donné par :

 

Sur l’axe réel, il est bien difficile de placer le point   mais sur le cercle trigonométrique, les valeurs   et   se trouvent confondues. Il en est d'ailleurs de même pour  . Nous pouvons aussi placer sans grandes difficultés  .


Une abscisse curviligne est, de préférence, donnée sous la forme  , avec  .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Sur le cercle trigonométrique, deux points   et  , d'abscisses respectives   et  , définissent un arc orienté  , c'est-à-dire un segment courbe ayant une origine (ici,  ) et un sens (ici de   vers  ).

 
Une abscisse curviligne de   et un arc orienté  .


Le radianModifier

 
Quelques correspondances radian-degré.


Remarques :

  • Il existe une infinité d'angles orientés associés à un arc du cercle  , séparés d’une distance   ( ).
  • On montre aisément que :

 

L'angle   peut aussi être noté :

  ou  

La dernière notation correspond à la mesure de   mais il y a coïncidence entre l'angle et la mesure de son arc associé.

Sinus, cosinus, tangente, cotangenteModifier

Ajoutons au repère (déjà bien garni…) deux axes réels :

  • l’axe  , image de   par la translation de vecteur   ;
  • l’axe  , image de   par la translation de vecteur  .
 
Représentation des fonctions  ,  ,   et  .