Trigonométrie/Triangle rectangle

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Par projeté orthogonal, sur l'axe des abscisses ou des ordonnées, d'un point situé sur le cercle trigonométrique, nous obtenons un angle droit, et donc, un triangle rectangle. Nous allons pouvoir redéfinir les formules des fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle, déjà vues au collège : , et .

Triangle rectangle
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Chapitre no 2
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. :Cercle trigonométrique
Chap. suiv. :Cosinus dans un triangle rectangle
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Trigonométrie/Triangle rectangle
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Sinus et cosinus dans un triangle rectangle

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Dans le cercle trigonométrique, le point   est projeté sur les deux axes du repère afin d'obtenir le sinus et le cosinus d'un angle  . On obtient alors un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le segment  , de longueur égale à 1 unité (rayon  ). Afin de rester en longueurs positives, le repère est restreint aux demi-axes   et  . L'intervalle angulaire du cercle trigonométrique est restreint à  .

 
Construction d’un triangle rectangle quelconque.

Nous pouvons construire tous les triangles rectangles ayant une hypoténuse mesurant 1 unité de longueur. Mais par un point quelconque   de la droite  , on peut aussi construire tous les triangles rectangles possibles. Le triangle construit ici est nommé  , (  étant le projeté orthogonal de   sur  ).

En appliquant le théorème de Thales aux deux triangles   et  , nous obtenons les relations suivantes :

  


Et par conséquent :


  et  



Remarque :

Il n'y a pas d'angle obtus dans un triangle rectangle : on ne peut pas définir le cosinus, le sinus, la tangente d’un angle obtus si on prend en compte les côtés d’un triangle rectangle.

Tangente dans un triangle rectangle

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Si  , nous reconnaissons immédiatement   dans la longueur du segment  . Alors pour tout triangle rectangle construit à partir d’un angle  , le théorème de Thales nous donne :

   


Et par conséquent :