Trigonométrie/Triangle rectangle

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Triangle rectangle
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Chapitre no 2
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. :Cercle trigonométrique
Chap. suiv. :Cosinus dans un triangle rectangle
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Trigonométrie/Triangle rectangle
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Par projeté orthogonal d’un point du cercle trigonométrique sur l’axe des abscisses ou des ordonnées, nous obtenons un angle droit et, du même coup, un triangle rectangle. Nous allons alors pouvoir redéfinir les formules de fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle, déjà vues au collège, en particulier pour les fonctions , et .

Sinus et cosinus dans un triangle rectangleModifier

Dans le cercle trigonométrique, nous avions projeté   sur les deux axes du repère pour obtenir les sinus et cosinus d’un angle. Ceci nous a donné un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le segment  , un rayon de longueur 1. Afin de rester en longueurs positives, restreignons le repère aux demi-axes   et   ainsi que le cercle trigonométrique à l'intervalle  .

 
Construction d’un triangle rectangle quelconque.

Nous pouvons clairement construire tous les triangles rectangles ayant une hypoténuse de longueur 1. Mais par un point quelconque   de la droite  , on peut aussi construire tous les triangles rectangles possibles, ici nommés  , en posant   le projeté orthogonal de   sur  . Pour tous ces triangles, le théorème de Thalès nous permet d'écrire

  soit  

et donc

  et  



Remarque :

Il n'y a pas d'angle obtus dans un triangle rectangle : on ne peut pas définir le cosinus d’un angle obtus grâce aux côtés d’un triangle rectangle. Il en sera de même pour la fonction tangente.

Tangente dans un triangle rectangleModifier

Si  , nous reconnaissons immédiatement   dans la longueur du segment  . Alors pour tout triangle rectangle construit à partir d’un angle  , le théorème de Thalès nous donne :

  soit  

d'où