Trigonométrie/Exercices/Problèmes récapitulatifs

Problèmes récapitulatifs
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Exercices no16
Leçon : Trigonométrie

Exercices de niveau 12.

Exo préc. :Résolution du triangle
Exo suiv. :Sommaire
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Trigonométrie/Exercices/Problèmes récapitulatifs
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Exercice 16-1Modifier

 On considère un cercle   de diamètre  , de centre  . Un point   de ce cercle se projette en   sur  .

Montrer que la tangente en   à   est tangente aux cercles de centres   et   et passant par  .

 Soit   le second point d'interception du cercle   avec le cercle de diamètre  ,   le centre de celui-ci,   le point d'interception des droites   et  .

Montrer que la droite   est parallèle à la tangente en   au cercle   et qu'elle est tangente aux cercles de diamètres   et   en ses points d'interception avec le cercle de diamètre  .

 Soit  ; établir les relations :

 .

 On suppose  . Montrer que   satisfait à l'équation :

 

Exercice 16-2Modifier

 On donne, dans un triangle  , le périmètre  , le rayon   du cercle inscrit, la hauteur   issue du sommet  .

Établir les formules permettant de calculer, en fonction des données, les trois côtés   et les trois angles   du triangle.

 Quelle relation doit-il exister entre   et   pour que le triangle soit rectangle en   ?

 On suppose  . Entre quelles limites doit varier   pour que le triangle (que cette fois on suppose quelconque) puisse exister ?

 Calculer côtés et angles lorsque  .

Exercice 16-3Modifier

On considère les triangles   dans lesquels la différence   vaut un droit.

 Établir les formules qui permettent de calculer les angles d'un tel triangle connaissant la valeur du rapport  . Cas particulier  .

 Démontrer que la hauteur issue du sommet   est tangente au cercle circonscrit du triangle.

 Vérifier que les côtés   du triangle et le rayon   du cercle circonscrit sont liés par la relation  . Étudier la réciproque.

 La base   d'un tel triangle étant fixe, trouver le lieu géométrique du sommet   et le lieu du point   de rencontre des hauteurs.

Exercice 16-4Modifier

Soit un triangle  .

 Calculer en fonction des sinus des angles du triangle les rapports   de chacun des côtés   à la hauteur correspondante.

 On donne le rapport   et l’angle  ; Calculer les angles   et  . Discussion.

Application numérique :  .

 Construire géométriquement le triangle   connaissant  .

 Le triangle   obtenu à la question précédente peut-il être isocèle ?

Peut-il être rectangle ?
Quelles sont les relations liant   et   dans chacun de ces différents cas ?

Exercice 16-5Modifier

Soit   un triangle dont les angles   et   sont aigus, l'angle en   pouvant être aigu ou obtus; on appelle   le cercle circonscrit et   son rayon. On construit le triangle   tel que les côtés   soient tangents au cercle   respectivement en   et  ; On appelle   le cercle circonscrit à ce triangle et   son rayon. Enfin,   désignent les éléments du triangle   et   ceux du triangle  .

 Montrer que :

  si   est aigu
et :
  si   est obtus.

 Calculer en fonction de   et des angles   les longueurs des segments  .

 Établir les formules :

 
 

Exercice 16-6Modifier

On considère un triangle   dans lequel la hauteur issue de   est double du diamètre du cercle inscrit :  . On donne la longueur   et le côté  

 Calculer le demi-périmètre  . Montrer que l’on peut calculer  .

 Achever la résolution du triangle en calculant soit  , soit   par leurs cosinus, soit le produit  .

Application :  . Calculer les trois angles.

 On se propose de donner une construction géométrique du triangle. Placer d'abord le côté  . Calculer   et en déduire un lieu géométrique sur lequel se trouve le sommet  . Achever la construction et discuter. (On donnera explicitement la réalisation effective de la construction au moyen de la règle et du compas.)

Exercice 16-7Modifier

Un triangle variable   est inscrit dans un cercle fixe   de centre   et de rayon  ; le sommet   est fixe et le côté   passe par le milieu   de  . On appelle   les angles du triangles,   l'aire du triangle et   l'angle  .

 Trouver le lieu du point de rencontre des médianes du triangle  .

 Démontrer la relation :

 

 Établir les trois relations :

 
Réciproquement, l'une quelconque de ces trois relations est-elle suffisante pour que le côté   passe par le milieu   de   ?

 On donne l'angle   entre   et  . Calculer  . Discuter géométriquement.

Application :   (voir les Valeurs trigonométriques exactes)

 Calculer   en fonction de  .

Exercice 16-8Modifier

On considère les triangles dont les angles   satisfont à la relation :

 

  est un nombre algébrique donné différent de -1.

 Montrer que l’on a :

 ;
 .
Calculer   et   connaissant  . Discuter. Étudier le cas où l'angle   est droit.

 On appelle   l'orthocentre et   la hauteur issue de  . Démontrer que l'on a :

 
Étudier les cas particuliers :
 .