Trigonométrie/Théorème du sinus

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Le théorème du sinus est applicable à des triangles non rectangles. Ce théorème permet d'établir une relation de proportionnalité entre le sinus des angles et les longueurs des côtés du triangle.

Théorème du sinus
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Chapitre no 9
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. :Théorème du cosinus
Chap. suiv. :Équations et inéquations trigonométriques
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Trigonométrie/Théorème du sinus
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L'énoncé du théorème du sinus, en français, est le suivant :


Dans un triangle plan quelconque, le quotient du sinus d'un angle par la longueur du côté opposé à cet angle est le même pour les trois points de vue.

Énoncé

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Soit un triangle quelconque   formé par deux triangles   et  , rectangles en  .


L'image représentant le triangle quelconque est la suivante :

 
Triangle quelconque


En utilisant la définition littérale du théorème du sinus, il est possible de montrer l'égalité des quotients des sinus des angles par les longueurs de leurs côtés opposés.


On note les paramètres et informations géométriques suivants :

  •   : Angle  
  •   : Angle  
  •   : Angle  
  •   : Côté opposé à l'angle  
  •   : Côté opposé à l'angle  
  •   : Côté opposé à l'angle  
  •   : Hauteur du triangle  


Les égalités sont les suivantes :


 


 
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Wikipédia possède un article à propos de « Loi des sinus ».

Démonstration

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La démonstration du théorème du sinus est réalisée en utilisant la représentation graphique du triangle   et les différentes informations géométriques présentes dans la section "Énoncé".

Triangle   rectangle en  

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Les différentes informations que l'on peut extraire de ce triangle sont les suivantes :

  •  
  •  

Triangle   rectangle en  

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Les différentes informations que l'on peut extraire de ce triangle sont les suivantes :

  •  
  •  

Triangle  

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Les informations existantes et nouvelles que l'on peut extraire de ce triangle sont les suivantes :

  •  
  • L'angle   est le résultat de la somme des deux autres angles   et  
    •   : Angle   du triangle   rectangle en  
    •   : Angle   du triangle   rectangle en  
  •  
  •  
  •  
  •  
  • Le sinus de l'angle   est le sinus de la somme des angles   et  . En utilisant la formule de trigonométrie  , on obtient le résultat suivant :  


En reprenant les résultats des sinus des angles composant le triangle   et en les divisant par leurs côtés opposés respectifs, nous obtenons un seul et même résultat :

  •  
  •  
  •  


CQFD