Trigonométrie/Théorème du sinus

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Théorème du sinus
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Chapitre no 9
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. :Théorème du cosinus
Chap. suiv. :Équations et inéquations trigonométriques
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Trigonométrie/Théorème du sinus
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En français, il peut s'énoncer ainsi : dans un triangle plan quelconque, le rapport du sinus d'un angle à la longueur du côté opposé est le même pour les trois points de vue.

ÉnoncéModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


DémonstrationModifier

Ce théorème se démontre par l'intermédiaire du calcul de l'aire d'un triangle :

Début d'un lemme
Fin du lemme


La hauteur   de ce triangle peut s'écrire par exemple :

  (car  ).

L'aire est donc égale à

 .

Par permutation, on a bien sûr également :

  et  .

On en déduit que

 ,

d'où le résultat annoncé (en multipliant par  ).