Début d’un principe
Fin du principe
Début de l'exemple
Exemple
Résoudre dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
2
sin
(
2
x
)
=
1
{\displaystyle 2\sin(2x)=1}
Soit
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
2
sin
(
2
x
)
=
1
⇔
sin
(
2
x
)
=
1
2
⇔
sin
(
2
x
)
=
sin
(
π
6
)
⇔
∃
k
∈
Z
,
2
x
=
π
6
+
2
k
π
ou
2
x
=
5
π
6
+
2
k
π
.
{\displaystyle {\begin{aligned}2\sin(2x)=1&\Leftrightarrow \sin(2x)={\frac {1}{2}}\\&\Leftrightarrow \sin(2x)=\sin({\frac {\pi }{6}})\\&\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {Z} ,~2x={\frac {\pi }{6}}+2k\pi {\text{ ou }}2x={\frac {5\pi }{6}}+2k\pi .\end{aligned}}}
L'ensemble des solutions est donc
{
π
12
+
k
π
,
5
π
12
+
k
π
∣
k
∈
Z
}
{\displaystyle \left\{{\frac {\pi }{12}}+k\pi ,{\frac {5\pi }{12}}+k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \right\}}
Fin de l'exemple
L'équation trigonométrique que l'on étudie et que l'on doit résoudre dans le cas général est :
a
cos
(
x
)
+
b
sin
(
x
)
=
c
{\displaystyle a\cos(x)+b\sin(x)=c}
L'objectif est de calculer l'ensemble des valeurs de la variable
x
{\displaystyle x}
Les constantes
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
(
a
,
b
,
c
)
∈
R
3
{\displaystyle (a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}}
(
a
,
b
)
≠
(
0
,
0
)
{\displaystyle (a,b)\neq (0,0)}
Nous procédons, dans un premier temps, à la création de trois nouvelles constantes à partir de
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
:
a
′
=
a
a
2
+
b
2
{\displaystyle a'={a \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
b
′
=
b
a
2
+
b
2
{\displaystyle b'={b \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
c
′
=
c
a
2
+
b
2
{\displaystyle c'={c \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
a
′
2
+
b
′
2
=
1
{\displaystyle a'^{2}+b'^{2}=1}
En effet,
a
′
2
+
b
′
2
=
(
a
a
2
+
b
2
)
2
+
(
b
a
2
+
b
2
)
2
=
(
a
2
+
b
2
)
(
a
2
+
b
2
)
=
1
{\displaystyle a'^{2}+b'^{2}=({a \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}})^{2}+({b \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}})^{2}={(a^{2}+b^{2}) \over (a^{2}+b^{2})}=1}
a
′
2
+
b
′
2
=
1
{\displaystyle a'^{2}+b'^{2}=1}
cosinus et sinus :
a
′
2
+
b
′
2
=
1
⟹
cos
(
α
)
2
+
sin
(
α
)
2
=
1
{\displaystyle a'^{2}+b'^{2}=1\Longrightarrow \cos(\alpha )^{2}+\sin(\alpha )^{2}=1}
{
a
′
=
cos
(
α
)
b
′
=
sin
(
α
)
{\displaystyle {\begin{cases}a'=\cos(\alpha )&\\b'=\sin(\alpha )&\end{cases}}}
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
L'équation trigonométrique comportant les nouvelles constantes est :
a
′
cos
(
x
)
+
b
′
sin
(
x
)
=
c
′
{\displaystyle a'\cos(x)+b'\sin(x)=c'}
En appliquant les nouvelles expressions de
a
′
{\displaystyle a'}
b
′
{\displaystyle b'}
cosinus.
Démonstration :
a
′
cos
(
x
)
+
b
′
sin
(
x
)
=
c
′
⟹
cos
(
α
)
cos
(
x
)
+
sin
(
α
)
sin
(
x
)
=
c
′
{\displaystyle a'\cos(x)+b'\sin(x)=c'\Longrightarrow \cos(\alpha )\cos(x)+\sin(\alpha )\sin(x)=c'}
cos
(
α
)
cos
(
x
)
=
cos
(
α
+
x
)
+
cos
(
α
−
x
)
2
{\displaystyle \cos(\alpha )\cos(x)={\cos(\alpha +x)+\cos(\alpha -x) \over 2}}
sin
(
α
)
sin
(
x
)
=
cos
(
α
−
x
)
−
cos
(
α
+
x
)
2
{\displaystyle \sin(\alpha )\sin(x)={\cos(\alpha -x)-\cos(\alpha +x) \over 2}}
cos
(
α
)
cos
(
x
)
+
sin
(
α
)
sin
(
x
)
=
cos
(
α
−
x
)
=
c
′
{\displaystyle \cos(\alpha )\cos(x)+\sin(\alpha )\sin(x)=\cos(\alpha -x)=c'}
Remarque : L'expression
cos
(
α
−
x
)
{\displaystyle \cos(\alpha -x)}
cos
(
x
−
α
)
{\displaystyle \cos(x-\alpha )}
L'équation
cos
(
x
−
α
)
=
c
′
{\displaystyle \cos(x-\alpha )=c'}
c
′
{\displaystyle c'}
:
Si
|
c
′
|
>
1
{\displaystyle |c'|>1}
cos
(
x
−
α
)
=
c
′
{\displaystyle \cos(x-\alpha )=c'}
1. L'ensemble des solutions est alors l'ensemble vide.
S
=
∅
{\displaystyle S=\varnothing }
Si
|
c
′
|
≤
1
{\displaystyle |c'|\leq 1}
cos
(
x
−
α
)
=
c
′
{\displaystyle \cos(x-\alpha )=c'}
ϕ
∈
R
{\displaystyle \phi \in \mathbb {R} }
c
′
=
cos
(
ϕ
)
{\displaystyle c'=\cos(\phi )}
La résolution de l'équation
cos
(
x
−
α
)
=
c
′
{\displaystyle \cos(x-\alpha )=c'}
:
cos
(
x
−
α
)
=
c
′
⟹
cos
(
x
−
α
)
=
cos
(
ϕ
)
{\displaystyle \cos(x-\alpha )=c'\Longrightarrow \cos(x-\alpha )=\cos(\phi )}
{
x
−
α
=
ϕ
+
2
k
π
x
−
α
=
−
ϕ
+
2
k
π
⟹
{
x
=
α
+
ϕ
+
2
k
π
x
=
α
−
ϕ
+
2
k
π
{\displaystyle {\begin{cases}x-\alpha =\phi +2k\pi &\\x-\alpha =-\phi +2k\pi &\end{cases}}\Longrightarrow {\begin{cases}x=\alpha +\phi +2k\pi &\\x=\alpha -\phi +2k\pi &\end{cases}}}
L'ensemble des solutions est alors :
S
=
{
α
±
ϕ
}
{\displaystyle S=\{\alpha \pm \phi \}}
(mod
2
π
{\displaystyle 2\pi }
⟺
S
=
α
±
ϕ
+
2
k
π
,
k
∈
Z
{\displaystyle \Longleftrightarrow S=\alpha \pm \phi +2k\pi ,\quad k\in \mathbb {Z} }
Les expressions des constantes
ϕ
{\displaystyle \phi }
α
{\displaystyle \alpha }
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
:
ϕ
=
arccos
(
c
a
2
+
b
2
)
{\displaystyle \phi =\arccos({c \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}})}
α
=
{
arctan
(
b
a
)
∣
a
>
0
π
−
arctan
(
b
a
)
∣
a
<
0
{\displaystyle \alpha ={\begin{cases}\arctan({b \over a})\mid a>0&\\\pi -\arctan({b \over a})\mid a<0&\end{cases}}}
ATTENTION : Lors du calcul des solutions de l'équation
a
cos
(
x
)
+
b
sin
(
x
)
=
c
{\displaystyle a\cos(x)+b\sin(x)=c}
modifier
Soient les équations suivantes, faisant intervenir des sommes et produits de cosinus et sinus :
cos
(
a
)
+
cos
(
b
)
=
S
cos
(
a
)
.
cos
(
b
)
=
P
sin
(
a
)
+
sin
(
b
)
=
S
sin
(
a
)
.
sin
(
b
)
=
P
{\displaystyle {\begin{matrix}\cos(a)+\cos(b)=S&\cos(a).\cos(b)=P\\\sin(a)+\sin(b)=S&\sin(a).\sin(b)=P\end{matrix}}}
a
,
b
,
P
,
S
{\displaystyle a,b,P,S}
(
a
,
b
,
P
,
S
)
∈
R
4
{\displaystyle \left(a,b,P,S\right)\in \mathbb {R} ^{4}}
L'objectif est de déterminer les intervalles de valeurs auxquels appartiennent les réels
P
{\displaystyle P}
S
{\displaystyle S}
sommes et produits des fonctions cosinus et sinus soient vrais.
Soit la somme de deux fonctions cosinus :
cos
(
a
)
+
cos
(
b
)
{\displaystyle \cos(a)+\cos(b)}
Les valeurs des réels
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
0
{\displaystyle 0}
π
{\displaystyle \pi }
(
mod
2
π
)
{\displaystyle {\pmod {2\pi }}}
En effet :
cos
(
0
)
=
1
{\displaystyle \cos(0)=1}
cos
(
π
)
=
−
1
{\displaystyle \cos(\pi )=-1}
La somme
cos
(
a
)
+
cos
(
b
)
{\displaystyle \cos(a)+\cos(b)}
−
2
{\displaystyle -2}
+
2
{\displaystyle +2}
S
{\displaystyle S}
Conclusion :
Les valeurs affectées au nombre réel
S
{\displaystyle S}
cos
(
a
)
+
cos
(
b
)
=
S
{\displaystyle \cos(a)+\cos(b)=S}
[
−
2
;
+
2
]
{\displaystyle [-2;+2]}
S
∈
[
−
2
;
+
2
]
⟹
|
S
|
≤
2
{\displaystyle S\in [-2;+2]\Longrightarrow \left\vert S\right\vert \leq 2}
Soit le produit de deux fonctions cosinus :
cos
(
a
)
.
cos
(
b
)
{\displaystyle \cos(a).\cos(b)}
Les valeurs des réels
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
0
{\displaystyle 0}
π
{\displaystyle \pi }
(
mod
2
π
)
{\displaystyle {\pmod {2\pi }}}
En effet :
cos
(
0
)
=
1
{\displaystyle \cos(0)=1}
cos
(
π
)
=
−
1
{\displaystyle \cos(\pi )=-1}
Le produit
cos
(
a
)
.
cos
(
b
)
{\displaystyle \cos(a).\cos(b)}
−
1
{\displaystyle -1}
+
1
{\displaystyle +1}
P
{\displaystyle P}
Conclusion :
Les valeurs affectées au nombre réel
P
{\displaystyle P}
cos
(
a
)
.
cos
(
b
)
=
P
{\displaystyle \cos(a).\cos(b)=P}
[
−
1
;
+
1
]
{\displaystyle [-1;+1]}
P
∈
[
−
1
;
+
1
]
⟹
|
P
|
≤
1
{\displaystyle P\in [-1;+1]\Longrightarrow \left\vert P\right\vert \leq 1}
CONCLUSION POUR LES FONCTIONS COSINUS :
Les conditions d'existence des sommes et produits des fonctions cosinus, quelles que soient les valeurs des nombres réels
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
S
∈
[
−
2
;
+
2
]
⟹
|
S
|
≤
2
{\displaystyle S\in [-2;+2]\Longrightarrow \left\vert S\right\vert \leq 2}
P
∈
[
−
1
;
+
1
]
⟹
|
P
|
≤
1
{\displaystyle P\in [-1;+1]\Longrightarrow \left\vert P\right\vert \leq 1}
Soit la somme de deux fonctions sinus :
sin
(
a
)
+
sin
(
b
)
{\displaystyle \sin(a)+\sin(b)}
Les valeurs des réels
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
+
π
2
{\displaystyle {+\pi \over 2}}
−
π
2
{\displaystyle {-\pi \over 2}}
(
mod
2
π
)
{\displaystyle {\pmod {2\pi }}}
En effet :
sin
(
π
2
)
=
1
{\displaystyle \sin({\pi \over 2})=1}
sin
(
−
π
2
)
=
−
1
{\displaystyle \sin({-\pi \over 2})=-1}
La somme
sin
(
a
)
+
sin
(
b
)
{\displaystyle \sin(a)+\sin(b)}
−
2
{\displaystyle -2}
+
2
{\displaystyle +2}
S
{\displaystyle S}
Conclusion :
Les valeurs affectées au nombre réel
S
{\displaystyle S}
sin
(
a
)
+
sin
(
b
)
=
S
{\displaystyle \sin(a)+\sin(b)=S}
[
−
2
;
+
2
]
{\displaystyle [-2;+2]}
S
∈
[
−
2
;
+
2
]
⟹
|
S
|
≤
2
{\displaystyle S\in [-2;+2]\Longrightarrow \left\vert S\right\vert \leq 2}
Soit le produit de deux fonctions sinus :
sin
(
a
)
.
sin
(
b
)
{\displaystyle \sin(a).\sin(b)}
Les valeurs des réels
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
+
π
2
{\displaystyle {+\pi \over 2}}
−
π
2
{\displaystyle {-\pi \over 2}}
(
mod
2
π
)
{\displaystyle {\pmod {2\pi }}}
En effet :
sin
(
π
2
)
=
1
{\displaystyle \sin({\pi \over 2})=1}
sin
(
−
π
2
)
=
−
1
{\displaystyle \sin({-\pi \over 2})=-1}
Le produit
sin
(
a
)
.
sin
(
b
)
{\displaystyle \sin(a).\sin(b)}
−
1
{\displaystyle -1}
+
1
{\displaystyle +1}
P
{\displaystyle P}
Conclusion :
Les valeurs affectées au nombre réel
P
{\displaystyle P}
sin
(
a
)
.
sin
(
b
)
=
P
{\displaystyle \sin(a).\sin(b)=P}
[
−
1
;
+
1
]
{\displaystyle [-1;+1]}
P
∈
[
−
1
;
+
1
]
⟹
|
P
|
≤
1
{\displaystyle P\in [-1;+1]\Longrightarrow \left\vert P\right\vert \leq 1}
CONCLUSION POUR LES FONCTIONS SINUS :
Les conditions d'existence des sommes et produits des fonctions sinus, quelles que soient les valeurs des nombres réels
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
S
∈
[
−
2
;
+
2
]
⟹
|
S
|
≤
2
{\displaystyle S\in [-2;+2]\Longrightarrow \left\vert S\right\vert \leq 2}
P
∈
[
−
1
;
+
1
]
⟹
|
P
|
≤
1
{\displaystyle P\in [-1;+1]\Longrightarrow \left\vert P\right\vert \leq 1}
Les inéquations trigonométriques sont des relations d'inégalité entre des expressions incluant des fonctions trigonométriques et des nombres.
Les trois inéquations de base sont les inéquations faisant intervenir les fonctions cosinus , sinus et tangente . Les variables dans ces fonctions sont
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
Dans toutes les inéquations suivantes, on considère le réel
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
Soient
(
x
,
y
)
∈
R
2
{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}
modifier
L'inéquation faisant intervenir deux fonctions sinus est la suivante :
sin
(
x
)
≤
sin
(
y
)
{\displaystyle \sin(x)\leq \sin(y)}
L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est :
S
=
[
−
π
−
y
;
y
]
(
mod
2
π
)
{\displaystyle S=[-\pi -y;y]{\pmod {2\pi }}}
L'intervalle auquel
x
{\displaystyle x}
−
π
−
y
+
2
k
π
≤
x
≤
y
+
2
k
π
{\displaystyle -\pi -y+2k\pi \leq x\leq y+2k\pi }
modifier
L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions sinus est la suivante :
sin
(
x
)
<
sin
(
y
)
{\displaystyle \sin(x)<\sin(y)}
L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est :
S
=
]
−
π
−
y
;
y
[
(
mod
2
π
)
{\displaystyle S=]-\pi -y;y[{\pmod {2\pi }}}
L'intervalle auquel
x
{\displaystyle x}
−
π
−
y
+
2
k
π
<
x
<
y
+
2
k
π
{\displaystyle -\pi -y+2k\pi <x<y+2k\pi }
modifier
L'inéquation faisant intervenir deux fonctions sinus est la suivante :
sin
(
x
)
≥
sin
(
y
)
{\displaystyle \sin(x)\geq \sin(y)}
L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est :
S
=
[
y
;
π
−
y
]
(
mod
2
π
)
{\displaystyle S=[y;\pi -y]{\pmod {2\pi }}}
L'intervalle auquel
x
{\displaystyle x}
y
+
2
k
π
≤
x
≤
π
−
y
+
2
k
π
{\displaystyle y+2k\pi \leq x\leq \pi -y+2k\pi }
modifier
L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions sinus est la suivante :
sin
(
x
)
>
sin
(
y
)
{\displaystyle \sin(x)>\sin(y)}
L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est :
S
=
]
y
;
π
−
y
[
(
mod
2
π
)
{\displaystyle S=]y;\pi -y[{\pmod {2\pi }}}
L'intervalle auquel
x
{\displaystyle x}
y
+
2
k
π
<
x
<
π
−
y
+
2
k
π
{\displaystyle y+2k\pi <x<\pi -y+2k\pi }
Soient
(
x
,
y
)
∈
R
2
{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}
modifier
L'inéquation faisant intervenir deux fonctions cosinus est la suivante :
cos
(
x
)
≤
cos
(
y
)
{\displaystyle \cos(x)\leq \cos(y)}
L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est :
S
=
[
y
;
2
π
−
y
]
(
mod
2
π
)
{\displaystyle S=[y;2\pi -y]{\pmod {2\pi }}}
L'intervalle auquel
x
{\displaystyle x}
y
+
2
k
π
≤
x
≤
2
π
−
y
+
2
k
π
{\displaystyle y+2k\pi \leq x\leq 2\pi -y+2k\pi }
modifier
L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions cosinus est la suivante :
cos
(
x
)
<
cos
(
y
)
{\displaystyle \cos(x)<\cos(y)}
L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est :
S
=
]
y
;
2
π
−
y
[
(
mod
2
π
)
{\displaystyle S=]y;2\pi -y[{\pmod {2\pi }}}
L'intervalle auquel
x
{\displaystyle x}
y
+
2
k
π
<
x
<
2
π
−
y
+
2
k
π
{\displaystyle y+2k\pi <x<2\pi -y+2k\pi }
modifier
L'inéquation faisant intervenir deux fonctions cosinus est la suivante :
cos
(
x
)
≥
cos
(
y
)
{\displaystyle \cos(x)\geq \cos(y)}
L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est :
S
=
[
−
y
;
y
]
(
mod
2
π
)
{\displaystyle S=[-y;y]{\pmod {2\pi }}}
L'intervalle auquel
x
{\displaystyle x}
−
y
+
2
k
π
≤
x
≤
y
+
2
k
π
{\displaystyle -y+2k\pi \leq x\leq y+2k\pi }
modifier
L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions cosinus est la suivante :
cos
(
x
)
>
cos
(
y
)
{\displaystyle \cos(x)>\cos(y)}
L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est :
S
=
]
−
y
;
y
[
(
mod
2
π
)
{\displaystyle S=]-y;y[{\pmod {2\pi }}}
L'intervalle auquel
x
{\displaystyle x}
−
y
+
2
k
π
<
x
<
y
+
2
k
π
{\displaystyle -y+2k\pi <x<y+2k\pi }
Soient
(
x
,
y
)
∈
R
2
∖
{
(
2
k
+
1
)
π
2
}
,
k
∈
Z
{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\backslash \{(2k+1){\pi \over 2}\},k\in \mathbb {Z} }
modifier
L'inéquation faisant intervenir deux fonctions tangente est la suivante :
tan
(
x
)
≤
tan
(
y
)
{\displaystyle \tan(x)\leq \tan(y)}
L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est :
S
=
]
−
π
2
;
y
]
(
mod
π
)
{\displaystyle S=]{-\pi \over 2};y]{\pmod {\pi }}}
L'intervalle auquel
x
{\displaystyle x}
(
2
k
−
1
)
π
2
<
x
≤
k
π
+
y
{\displaystyle {(2k-1)\pi \over 2}<x\leq k\pi +y}
modifier
L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions tangente est la suivante :
tan
(
x
)
<
tan
(
y
)
{\displaystyle \tan(x)<\tan(y)}
L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est :
S
=
]
−
π
2
;
y
[
(
mod
π
)
{\displaystyle S=]{-\pi \over 2};y[{\pmod {\pi }}}
L'intervalle auquel
x
{\displaystyle x}
(
2
k
−
1
)
π
2
<
x
<
k
π
+
y
{\displaystyle {(2k-1)\pi \over 2}<x<k\pi +y}
modifier
L'inéquation faisant intervenir deux fonctions tangente est la suivante :
tan
(
x
)
≥
tan
(
y
)
{\displaystyle \tan(x)\geq \tan(y)}
L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est :
S
=
[
y
;
π
2
[
(
mod
π
)
{\displaystyle S=[y;{\pi \over 2}[{\pmod {\pi }}}
L'intervalle auquel
x
{\displaystyle x}
k
π
+
y
≤
x
<
(
2
k
+
1
)
π
2
{\displaystyle k\pi +y\leq x<{(2k+1)\pi \over 2}}
modifier
L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions tangente est la suivante :
tan
(
x
)
>
tan
(
y
)
{\displaystyle \tan(x)>\tan(y)}
L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est :
S
=
]
y
;
π
2
[
(
mod
π
)
{\displaystyle S=]y;{\pi \over 2}[{\pmod {\pi }}}
L'intervalle auquel
x
{\displaystyle x}
k
π
+
y
<
x
<
(
2
k
+
1
)
π
2
{\displaystyle k\pi +y<x<{(2k+1)\pi \over 2}}
![{\displaystyle [-2;+2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ccef84a1558e9e780cc1f80b6b366cae139f3f)
![{\displaystyle S\in [-2;+2]\Longrightarrow \left\vert S\right\vert \leq 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bede18679905e317238883aac3f24433b098e559)
![{\displaystyle [-1;+1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90f1555bbff659d4d69b48a914890f5df95f2a0)
![{\displaystyle P\in [-1;+1]\Longrightarrow \left\vert P\right\vert \leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3241b0e5144899da40e624f4ac7a8949912ea2)
![{\displaystyle S=[-\pi -y;y]{\pmod {2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b89cb8721ff05c8c9fe16cedf9aebf765893b08a)
![{\displaystyle S=]-\pi -y;y[{\pmod {2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ada405bd376403300fc27eccb68aef6b611def)
![{\displaystyle S=[y;\pi -y]{\pmod {2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09914e169f34e66885dfed9e8a16f7f31ec81fbd)
![{\displaystyle S=]y;\pi -y[{\pmod {2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d9e214d875b9ec66ea22f4bc39ea8571adf2426)
![{\displaystyle S=[y;2\pi -y]{\pmod {2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38fae985691d9b6fc47d05f50f7e6ce59ed70c8)
![{\displaystyle S=]y;2\pi -y[{\pmod {2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef82cf790341c70d3d17bb514084c2b73b283015)
![{\displaystyle S=[-y;y]{\pmod {2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0905ad9e3ab001f5cc7e3ea20b7ba50052232e13)
![{\displaystyle S=]-y;y[{\pmod {2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52c3526b19d6eabd6fce4582077af26826debca)
![{\displaystyle S=]{-\pi \over 2};y]{\pmod {\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ae21a06da9739cc3e0697dcc18dda6ad50b908)
![{\displaystyle S=]{-\pi \over 2};y[{\pmod {\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f1dc9dcc1e3315e02ab593203fb20895ccc31a1)
![{\displaystyle S=]y;{\pi \over 2}[{\pmod {\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16a0636881c5d04bb1cb2b4c594ace11ce20425)
