Trigonométrie/Équations et inéquations trigonométriques

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Équations et inéquations trigonométriques
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Chapitre no 10
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. :Théorème du sinus
Chap. suiv. :Les formules de trigonométrie
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Équations trigonométriquesModifier

Équations de baseModifier

Début d’un principe
Fin du principe
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Cas généralModifier

Soit   tel que  . On étudie l'équation  .

En posant

 ,   et  ,

l'équation devient :

  avec  .

Il existe alors   tel que   et  , et l'équation devient :

 .

Si  , il n'y a pas de solution.

Si  , il existe   tel que  . L'équation devient alors

 ,

donc ses solutions sont :

 .

Condition d'existence de deux cosinus (ou deux sinus) de somme et produit prescritsModifier

Cherchons la condition sur les réels   et   pour qu'il existe deux angles   et   tels que

 

ou (ce qui est équivalent puisque  ) deux angles   et   tels que

 .

Il faut avant tout que l'équation   ait deux solutions réelles, c'est-à-dire que

 .

La condition supplémentaire pour que ces deux solutions soient des cosinus (ou des sinus) est qu'elles soient comprises entre   et  , c'est-à-dire  , ou encore :

  et  

ce qui équivaut à

  et  .

La condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe deux cosinus (ou deux sinus) de somme   et de produit   est donc :

  et  .

Inéquations trigonométriquesModifier