Utilisateur:Anne Bauval/Pense-bête

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le L.E. Quéfellec-Zuilly est mort
le poly de Snyder est médiocre (hypothèses trop fortes, orthographe Poussin pour Poisson) et ne source que la première des 2 séries
l'hypothèse $\exists C>0\quad \exists \alpha >1\quad \forall x\in \mathbb {R} \quad |f(x)|\leq {\frac {C}{\left(1+|x|\right)^{\alpha }}}$ peut être remplacée par l'hypothèse plus faible $\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(t+na)$ converge uniformément sur $[0,a]$ , et l'interversion série-intégrale résulte simplement de $\sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{0}^{a}|f(t+na)|~\mathrm {d} t=\|f\|_{1}<\infty$
Équivalent au développement en série de cotan $\sum _{m\in \mathbb {Z} }{1 \over x^{2}-m^{2}}={\pi \over x\tan(\pi x)}$ $(\forall x\neq 0)$ , le développement $\sum _{m\in \mathbb {Z} }{1 \over m^{2}+x^{2}}={\pi \over x\tanh(\pi x)}$ se déduit de la formule de Poisson en $t=0$ appliquée à $f(t)=\operatorname {e} ^{-|t|}$ , ${\hat {f}}(x)={\frac {2}{1+x^{2}}}$ , $a=2\pi x$ .
Quid de $\sum _{m\in Z}1/(m+a)^{2}$ et $\sum _{0}^{\infty }(-1)^{m}/(2m+1)^{3}$ ?