Utilisateur:EclairEnZ/Brouillon

Brouillon touffu

Les grands mathématiciens sont peu nombreux à l'époque de Fermat (par rapport à la nôtre).

« Justel nous apprend que le mérite de Fermat était plus connu et admiré dans les pays étrangers qu’en France. Et pourquoi ? C’est que, — d’autres l’ont déjà remarqué, — après la mort de Fermat il n’était resté en France aucun géomètre de premier ordre pour apprécier à leur juste valeur ces admirables découvertes. » (Fermat, par Libri).

En avril 1637 Fermat est déjà allé très loin.

Frenicle, lettre à Mersenne, 1640. Ne comprend pas combien la construction de très grands carrés magiques requiert de finesse et devient méprisant envers Fermat : "Ce qu'il vous a envoyé n'est pas digne d'un honnête homme comme lui, mais est plutôt l'occupation d'un écolier."

2. Ce sont les débuts de la "poste aux lettres", où les délais d'acheminement dépassent souvent la quinzaine.
Mais la poste est encore le moyen le plus commode de communiquer d'une façon régulière. Pour être efficaces, on s'exprime dans les missives un peu de la même façon qu'on l'aurait fait lors de rencontres physiques, directes, on ne doit pas s'abstenir de critiquer quand on l'estime justifié, on s'oblige alors à être d'autant plus courtois pour "faire passer la pilule".

Son style d'écriture ? Grand siècle. Humilité et flatterie aussi, comme c'est la coutume.

Fermat emploie dans sa correspondance, tous les moyens imaginables. Provocations, Grande courtoisie certes, mais mêlée, quand c'est nécessaire pour la science, de jugements abrupts qu'il estime justifiés sur le travail d'autres matheux.

Dans les obs, IL NE MET PAS UN MOT DE PLUS QUE NECESSAIRE. D'un autre côté, il ne cesse de dire : admirable, merveilleuse, etc. Ne cesse d'exciter, de titiller.

Dans un premier temps, on voit que F a bcp de considération pour Diophante (c'est à lui seul qu'il se mesure), bcp moins pour Bachet. Puis il n'hésite pas à dire qu'il est allé bcp plus loin que lui : il tient absolument qu'on s'attache à ses découvertes, qu'il juge indispensables aux avancées de la science.

Fermat n'a pas seulement mis au point la fameuse méthode de la "descente infinie", il en a inventé d'autres, dont une, très utile , L'autostimulation : puisque à part (un peu) Pascal, Roberval..., d'autres ne parviennent pas du tout à le suivre.

Bonne ambiance au début avec son ami Frénicle. Ensuite au fil du temps quand ses correspondants lui répondent, ils ne soufflent mot des défis reçus, ils les ignorent, complètement hors du coup.

• Si tous ses correspondants (et plus tard) ont dit que Fermat avait fait faire un bond gigantesque aux math, il est impossible pour nos contemporains de se mettre totalement “dans la peau” d'un mathématicien de l'époque (Fermat en l'occurrence) → ainsi ils sont trop souvent médisants, arrogants parfois.

PS : J'avais moi aussi exprimé ma grande joie à propos de ce que j'avais trouvé - son astuce magistrale sur les "nombres de Fermat" -, puis me disant que c'était très personnel et que ça ne servait pas à grand chose, que ça ferait m^ peut-être prétentieux, je l'ai retiré. Je crois que je vais imiter mon maître, je le remettrai, je pratiquerai moi aussi, "L'autostimulation". C'est fait.

J’ai retrouvé par hasard (???) dans un ancien mail de Roland Franquart ce qu’il écrivait à propos de cette explication, qui fait appel au simple bon sens, à la pure réflexion, à la logique pure. Il m’avait mis en copie d’un courriel adressé à l’un de ses correspondants. Pour le dépersonnaliser, afin de le rendre plus facile à lire je me suis vu contraint de le modifier très légèrement. Cette explication, on pourrait peut-être la nommer une désambiguïsation. Avant de lire ces commentaires de R. Franquart veuillez lire le décryptage de la note sur cette page (...) du site de R.F. Voici donc le courriel :
– On découvre dans la note de Fermat un cryptage de nature ‘typographique’ , un cryptage de nature ‘grammaticale’ […] et un cryptage de nature ‘alphabétique’ :
1 - Fermat a expertement composé ses deux phrases (dont le sujet est ce 21^ème mot « nominis » = nom de la puissance), à l’aide de 20 lettres (t) et de 21 lettres (u) qui sont respectivement les 20 et 21^èmes lettres de notre Alphabet ; un exploit !
2 - Par suite, le lecteur est incité à compter ces lettres dans chaque mot de la note.
3 - Il découvre alors que Fermat parle des ‘triangles’ dits de Pascal. La confirmation étant dans l’exemple pour n=2 ... s’il ne contient pas la lettre (t) = non capere... t.

On découvre enfin un cryptage métaphorique certes, mais aussi de nature ‘arithmétique’ :
1 - Fermat montre que le développement du binôme est entaché d’une ‘impossibilité’ : les 2 termes extrêmes z’ⁿn et z’’ⁿ sont incompatibles avec les Additions servant aux calculs des autres termes, si n > 3. (N’y a-t-il aucun nombre Tⁿ égalant leur somme ?).
2 - Fermat suggère cette vérification, en substituant Tⁿ à leur somme. Résultat : On voit que ce binôme (z’+z’’)ⁿ quelconque n’a plus aucun développement binomial ; un ‘test’ très élémentaire.
Était-ce une preuve suffisante au XVIIe siècle, même si elle ne l’est plus aujourd’hui ?

• Notons tout d'abord que la note de Fermat était conçue savamment pour qu’elle ait non pas un, mais deux sens.

En vertu d’un principe de base de la cryptologie, si on ne dispose pas d’un panel suffisamment large, on peut toujours arriver à la conclusion que l’on souhaite et faire dire n’importe quoi à n’importe quoi. Or lorsqu’on se trouve face à tous indices présents dans la note de Fermat, on se voit contraint d'admettre que le panel est très large. Quand de plus on découvre que tous ces indices mis bout à bout révèlent un assemblage cohérent (et admirable), alors on ne peut plus parler de ‘’trucage’’.
Si l’on m’opposait que ces calculs ont consisté à remplacer une expression simple (zⁿ = xⁿ + yⁿ) par ce Zⁿ = cette fonction de z’, z’’, t’ et t’’, qui bien qu’elle soit juste ne démontre en rien l’impossibilité de x, y, z et n entiers, je répondrais ceci :
1 – Remarquons d’une part, que Z = z’+z’’ est un ‘certain’ entier. Et que Zⁿ = (z’+z’’)ⁿ a son propre développement, dont «les 2 termes en bordure » sont z’ⁿ et z’’ⁿ.
2 – Et d’autre part, que T = t’+ t’’ est un ‘autre’ entier (T différent de Z) et qu’il a lui aussi son propre développement : Tⁿ = (t’+ t’’)ⁿ. Que l’on m’arrête si on n’est pas d’accord.
3 – Se souvenir ici que le GTF dit que : Tⁿ = z’ⁿ + z’’ⁿ est sans solution. (évidemment, quand T ne vaut pas z’ + z’’, c’est pourquoi nous avons besoin de ces deux nombres T et Z différents).
4 - C’est suffisant pour vérifier le GTF, il suffit de remplacer z’ⁿ+z’’ⁿ par le développement de Tⁿ. Or, les coefficients du binôme étant les mêmes pour Zⁿn que pour Tⁿ, on peut les mettre tous en facteurs communs. C’est ce que j’ai fait.
5 – Que constate-t-on alors ? que le nouveau terme général obtenu (après ledit remplacement) est un ‘faux terme général’, parce qu’il est ‘exact’ pour i=1 et i=n-1 et pour tous les autres termes donnés par le compteur i de la Sigma de i=2 à i=n-2, sauf pour i=0 et i=n.
Alors, je me demande quelle peut bien être la cause dont l’effet est que le binôme (z’+z’’)ⁿ n’a plus de terme ... général, alors qu’il lui en faut un ! (comme tout binôme). Je ne vois qu’une réponse possible, c’est que l’égalité : Tⁿ = z’ⁿ + z’’ⁿ, n’a pas de solution.
D’où la question : « La Sigma n’est-elle qu’une forme d’écriture, sans intérêt mathématique ? ». Voyons ce petit calcul curieux : (Zⁿ -Tⁿ) = 0 si l’on pense aux nombres que l’on a ... délaissés :
On a : Zⁿ = 0z’ⁿ + 0z'^n-1 + t’ⁿ + t’’^n-1 + n[0ⁱ.z’’^n-i + t’ⁱ t’’^n-i] + Σ_i=2 ^i=n-2 α_{(n, i)}.[0ⁱ.z^n-i + t' ⁱt^n-i]. Ce faux terme général retrouverait son statut de vrai terme général, dans les 2 cas suivants :
1° - Si z’ = 0. Alors, Z = z’’. Mais Zⁿ > 1, exprimerait également (z₁+z₂)ⁿ ; un binôme délaissé.

.../...

(ICI intercalé, TEXTE TRES LONG, IMPORTANT, à AJOUTER peut-être un jour).

.../...

Maintenant nous comprenons Fermat, quand il dit que : Ces termes extrêmes (les fils du bord) « ne contiennent pas l’explication de la construction du tissu » (donc, l’explication du terme général qui gouverne la ... construction de tous les coefficients d’un binôme). Qu’on y songe, car je ne saurais le redire mieux. Il ne resterait plus qu’à traduire cette ‘explication’ en langage uniquement mathématique. Quant à moi je n’ai fait que disséquer l’explication de Fermat.
Maintenant soyons clairs, une fois pour toutes, sur cette nature mal perçue de ce lien que l’on pourrait me demander avec insistance : Il est impossible qu’un nombre Zⁿ n’ait plus de terme général si l’on pose : Z=z’+z’’, alors qu’il en a un, pour Z = z1+1. C’est bien la preuve qu’il lui faudra toujours un terme général, puisque Zⁿ sera toujours un binôme ayant un terme général. Et qui dirait que pour n > 2 un binôme peut avoir un coeff. de moins que ceux ... du binôme qu’il est ? Pas moi.

• Si l’on m’opposait que je fais cette erreur de logique grave : je chercherais à démontrer qu’il n’existe pas de formule valable quel que soit n ; je répondrais : Non, je cherche à faire observer aux personnes lucides et subtiles le terme général du développement du binôme, parce qu’il souffre comme le suggère Fermat d’un « manque de termes, en bordure ». Il est aisé de le constater, mais jamais personne n’en a parlé...

Mais le but n’est pas là : il faut démontrer qu’il n’existe pas au moins une valeur de n. C’est radicalement différent. Et beaucoup plus compliqué, car il faut chercher, comme Fermat, du côté des 2 coefficients unitaires du binôme. Parce qu’ils sont incompatibles avec l’Addition. Ils ne sont compatibles qu’avec le OU_exclusif de l’Arithmétique logique. Et c’est ça ! que Fermat avait ‘vu’ en son temps. Qu’est-ce qui nous retient de le ‘voir’ aussi ?
Cette démonstration est-elle arithmétique, analytique, algébrique, géométrique, graphique (ou un peu de chaque) ? Si elle n’est faite que de ‘bon sens’, elle est forcément mathématique. Logique, non ?

On me dit que les 3 dernières lignes de calculs, sur mon site franquart.fr sont exactes, mais que le raisonnement qui lie la dernière ligne de calcul à la conclusion que je fais constater, n’est pas mathématique. Mais moi, j’ai confiance en Fermat, contrairement à d’autres

Roland Franquart (texte du courriel très légèrement modifié par mes soins).