Trigonométrie/Théorème du sinus

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Le théorème du sinus est applicable à des triangles non rectangles. Ce théorème permet d'établir une relation de proportionnalité entre le sinus des angles et les longueurs des côtés du triangle.

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L'énoncé du théorème du sinus, en français, est le suivant :

Dans un triangle plan quelconque, le quotient du sinus d'un angle par la longueur du côté opposé à cet angle est le même pour les trois points de vue.

Énoncé

Soit un triangle quelconque $ABC$ formé par deux triangles $ABO$ et $BCO$, rectangles en $O$.

L'image représentant le triangle quelconque est la suivante :

Triangle quelconque

En utilisant la définition littérale du théorème du sinus, il est possible de montrer l'égalité des quotients des sinus des angles par les longueurs de leurs côtés opposés.

On note les paramètres et informations géométriques suivants :

• ${\widehat {a_{1}}}$ : Angle ${\widehat {BAO}}$
• ${\widehat {a_{2}}}$ : Angle ${\widehat {ABC}}$
• ${\widehat {a_{3}}}$ : Angle ${\widehat {BCO}}$
• $C_{1}=AB$ : Côté opposé à l'angle ${\widehat {a_{3}}}$
• $C_{2}=BC$ : Côté opposé à l'angle ${\widehat {a_{1}}}$
• $C_{3}=AC$ : Côté opposé à l'angle ${\widehat {a_{2}}}$
• $BO$ : Hauteur du triangle $ABC$

Les égalités sont les suivantes :

${\sin({\widehat {a_{1}}}) \over C_{2}}={\sin({\widehat {a_{2}}}) \over C_{3}}={\sin({\widehat {a_{3}}}) \over C_{1}}={BO \over C_{1}.C_{2}}={hauteur \over C_{1}.C_{2}}$

Démonstration

La démonstration du théorème du sinus est réalisée en utilisant la représentation graphique du triangle $ABC$ et les différentes informations géométriques présentes dans la section "Énoncé".

Triangle $ABO$ rectangle en $O$

Les différentes informations que l'on peut extraire de ce triangle sont les suivantes :

• $\cos({\widehat {a_{1}}})={AO \over AB}$
• $\sin({\widehat {a_{1}}})={BO \over AB}$

Triangle $BCO$ rectangle en $O$

Les différentes informations que l'on peut extraire de ce triangle sont les suivantes :

• $\cos({\widehat {a_{3}}})={CO \over BC}$
• $\sin({\widehat {a_{3}}})={BO \over BC}$

Triangle $ABC$

Les informations existantes et nouvelles que l'on peut extraire de ce triangle sont les suivantes :

• $C_{3}=AC=AO+CO$
• L'angle ${\widehat {a_{2}}}$ est le résultat de la somme des deux autres angles ${\widehat {a_{21}}}$ et ${\widehat {a_{22}}}$
  • ${\widehat {a_{21}}}$ : Angle ${\widehat {ABO}}$ du triangle $ABO$ rectangle en $O$
  • ${\widehat {a_{22}}}$ : Angle ${\widehat {CBO}}$ du triangle $BCO$ rectangle en $O$
• $\cos({\widehat {a_{21}}})={BO \over AB}$
• $\sin({\widehat {a_{21}}})={AO \over AB}$
• $\cos({\widehat {a_{22}}})={BO \over BC}$
• $\sin({\widehat {a_{22}}})={CO \over BC}$
• Le sinus de l'angle ${\widehat {a_{2}}}$ est le sinus de la somme des angles ${\widehat {a_{21}}}$ et ${\widehat {a_{22}}}$. En utilisant la formule de trigonométrie $\sin({\widehat {a_{21}}}+{\widehat {a_{22}}})=\cos({\widehat {a_{21}}})\sin({\widehat {a_{22}}})+\sin({\widehat {a_{21}}})\cos({\widehat {a_{22}}})$, on obtient le résultat suivant : $\sin({\widehat {a_{2}}})={BO(CO+AO) \over AB.BC}={C_{3}.hauteur \over C_{1}.C_{2}}$

En reprenant les résultats des sinus des angles composant le triangle $ABC$ et en les divisant par leurs côtés opposés respectifs, nous obtenons un seul et même résultat :

• ${\sin({\widehat {a_{1}}}) \over C_{2}}={hauteur \over C_{1}.C_{2}}$
• ${\sin({\widehat {a_{2}}}) \over C_{3}}={hauteur \over C_{1}.C_{2}}$

• ${\sin({\widehat {a_{3}}}) \over C_{1}}={hauteur \over C_{1}.C_{2}}$

■ CQFD