INSA-4GP-gr1

Méthode générale pour calculer le champ magnétostatique en tout point M quelconque de l'espace

1. Définir un système de coordonnées approprié aux symétries présentes sur la distribution en courant (cartésiennes, cylindriques et sphériques)
2. Repérer toutes les invariances de la distribution de courant, afin de déterminer la dépendance du champ par rapport à certaines coordonnées du point M.
3. Repérer les plans de symétrie (ou d’antisymétrie) de la distribution de courant, afin de déterminer la direction du champ magnétique au point M.
4. Définir un « contour d’Ampère », qui contient le point M, et sur lequel le champ est tangent. Suivant la distribution il faut généralement distinguer plusieurs cas, selon la région de l’espace où se situe le point (à l’intérieur / à l’extérieur de la distribution par ex.)
5. Appliquer le Théorème d’Ampère afin de résoudre le problème

Fil infini

Prenons le cas d'un conducteur filiforme rectiligne infini parcouru par un courant $I$. Les coordonnées adaptées à ce problème sont les coordonnées cylindriques.

Invariances et symétries

Les symétries sont :

• Tout plan passant par l'axe $(Oz)$ est plan de symétrie pour la distribution : ainsi, le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan.

Les invariances sont :

• La distribution est invariante par translation suivant $(Oz)$.
• La distribution est invariante par rotation de $\theta$ autour de $(Oz)$.

Donc ${\vec {B}}=B(r){\vec {u}}_{\theta }$

Contour d'Ampère

On considère un cercle d'axe $(Oz)$, contenant le fil et de rayon $r$. Le sens de rotation implique que le sens positif est suivant l'axe $(Oz)$.

On applique le théorème d'Ampère

${\begin{aligned}\oint _{C}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}&=\int _{\theta }^{2\pi }B.r.d\theta \\&=B.2.\pi .r\\&=\mu _{0}I\end{aligned}}$.

d'où : ${\vec {B}}(r)={\frac {\mu _{0}I}{2.\pi .r}}{\vec {u}}_{\theta }$

Nappe de courant

Soit une distribution surfacique de courants uniformes ${\vec {j}}_{s}=j_{s}{\vec {u_{y}}}$ circulant dans le plan $(yOz)$.

Cette distribution peut être considéré comme la superposition d'une infinité de fils infinis parallèles les uns aux autres. Les coordonnées adaptées à ce problème sont les coordonnées cartésiennes.

Étude des symétries : le plan $(xOy)$ est un plan de symétrie pour la distribution de courant, le champ magnétique lui est donc perpendiculaire.

Etude des invariances : la nappe de courant étant infinie, il y a invariance par translation dans le plan $(Oy)$ et dans le plan $(Oz)$, le champ ne dépendra donc que de la distance $x$ au plan $(yOz)$.

Donc ${\vec {B}}=B(x){\vec {u}}_{z}$

Contour d'Ampère : on considère un contour fermé constitué de deux segments parallèles à l'axe $(Ox)$ et deux segments de longueur $l$ parallèles à l'axe $(Oz)$ et situés à une distance $x$ et $-x$.

On applique le théorème d'Ampère

${\begin{aligned}\mu _{0}.I_{enlace}&=\oint _{ABCD}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=\underbrace {\int _{A}^{B}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}} _{=0}+\int _{B}^{C}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}+\underbrace {\int _{C}^{D}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}} _{=0}+\int _{D}^{A}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=-B(x)l+B(-x)l\end{aligned}}$.

Il reste à calculer la valeur du courant :

${\begin{aligned}\mu _{0}.I_{enlace}=\int _{0}^{l}{\vec {j}}_{s}.\mathrm {d} {\vec {l}}=j_{s}l\end{aligned}}$.

On obtient donc :

$-B(x)l+B(-x)l=\mu _{0}j_{s}l$

$-2B(x)=\mu _{0}j_{s}$

$B(x)={\frac {-\mu _{0}j_{s}}{2}}$.

Finalement :

$B(x)={\frac {-\mu _{0}j_{s}}{2}}=-{\frac {\mu _{0}}{2}}{\vec {j}}_{s}\wedge {\vec {u}}_{x}$

Le champ est uniforme des deux côtés de la nappe de courant. Si l'on note ${\vec {B}}_{+}={\vec {B}}(x>0)$ et ${\vec {B}}_{-}={\vec {B}}(x<0)$ on peut remarquer que :

${\vec {B}}_{+}-{\vec {B}}_{-}=\mu _{0}j_{s}{\vec {u_{z}}}=\mu _{0}{\vec {j_{s}}}\wedge {\vec {u_{x}}}$