On se place dans
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
T
{\displaystyle T}
Les fonctions d'Argyris liées à
T
{\displaystyle T}
P
5
(
T
)
{\displaystyle \mathbb {P} _{5}(T)}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
(
x
,
y
)
∈
T
{\displaystyle (x,y)\in T}
Un élément
M
∈
P
5
(
T
)
{\displaystyle M\in \mathbb {P} _{5}(T)}
M
=
a
0
+
a
1
x
+
b
1
y
+
a
2
x
2
+
b
2
x
y
+
c
2
y
2
+
a
3
x
3
+
b
3
x
2
y
+
c
3
x
y
2
+
d
3
y
3
+
a
4
x
4
+
b
4
x
3
y
+
c
4
x
2
y
2
+
d
4
x
y
3
+
e
4
y
4
+
a
5
x
5
+
b
5
x
4
y
+
c
5
x
3
y
2
+
d
5
x
2
y
3
+
e
5
x
y
4
+
f
5
y
5
{\displaystyle M=a_{0}+a_{1}x+b_{1}y+a_{2}x^{2}+b_{2}xy+c_{2}y^{2}+a_{3}x^{3}+b_{3}x^{2}y+c_{3}xy^{2}+d_{3}y^{3}+a_{4}x^{4}+b_{4}x^{3}y+c_{4}x^{2}y^{2}+d_{4}xy^{3}+e_{4}y^{4}+a_{5}x^{5}+b_{5}x^{4}y+c_{5}x^{3}y^{2}+d_{5}x^{2}y^{3}+e_{5}xy^{4}+f_{5}y^{5}}
Ainsi, la seule donnée des coefficients
a
0
,
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
,
a
5
,
b
1
,
b
2
,
b
3
,
b
4
,
b
5
,
c
2
,
c
3
,
c
4
,
c
5
,
d
3
,
d
4
,
d
5
,
e
4
,
e
5
,
f
5
{\displaystyle a_{0}\,,\,a_{1}\,,\,a_{2}\,,\,a_{3}\,,\,a_{4}\,,\,a_{5}\,,\,b_{1}\,,\,b_{2}\,,\,b_{3}\,,\,b_{4}\,,\,b_{5}\,,\,c_{2}\,,\,c_{3}\,,\,c_{4}\,,\,c_{5}\,,\,d_{3}\,,\,d_{4}\,,\,d_{5}\,,\,e_{4}\,,\,e_{5}\,,\,f_{5}}
P
5
(
T
)
{\displaystyle \mathbb {P} _{5}(T)}
P
5
(
T
)
{\displaystyle \mathbb {P} _{5}(T)}
Il nous faut alors 21 relations (conditions) indépendantes afin de pouvoir déterminer ces 21 coefficients : on appelle cela les degrés de liberté .
Une base possible est
{
1
,
x
,
y
,
x
2
,
x
y
,
y
2
,
x
3
,
x
2
,
y
2
,
y
3
,
x
4
,
x
3
y
,
x
2
y
2
,
x
y
3
,
y
4
,
x
5
,
x
4
y
,
x
3
y
2
,
x
2
y
3
,
x
y
4
,
y
5
}
{\displaystyle \{1,x,y,x^{2},xy,y^{2},x^{3},x^{2},y^{2},y^{3},x^{4},x^{3}y,x^{2}y^{2},xy^{3},y^{4},x^{5},x^{4}y,x^{3}y^{2},x^{2}y^{3},xy^{4},y^{5}\}}
base canonique .
Dans la pratique, il est extrêmement difficile (et surtout pas pratique) de pouvoir trouver les 21 coefficients avec cette base. C'est pourquoi nous formulons une base différente formée des fonctions d'Argyris. Elles sont liées à des conditions données :
sur la valeur de la fonction M en chaque sommet (3 relations);
sur la valeur des dérivées premières de la fonction M en chaque sommet (6 relations);
sur la valeur des dérivées secondes de la fonction M en chaque sommet (9 relations);
sur la valeur "liée à la normale" pour chaque arête (3 relations). Remarque 1 : Ces conditions ne sont pas uniques : on peut toujours trouver d'autres conditions, mais celles-ci sont les plus simples à mettre en application.
Remarque 2 : Le dernier point concerne la valeur "liée à la normale". C'est une définition un peu particulière qui peut être différente selon les travaux. Vous trouverez ici une définition possible et qui est la plus couramment utilisée.
Avec ces données, il est possible de calculer toutes les fonctions d'Argyris pour n’importe quel triangle : il suffit pour cela de résoudre un système linéaire AU=B où :
A est une matrice 21 × 21;
U est un vecteur de taille 21 composé des 21 coefficients;
B est un vecteur de taille 21 dont toutes les composantes sont nulles sauf une qui correspond à la condition adéquate. (meilleure explication ? se référer à la partie exemple ?)
Remarque 3 : Résoudre ce système est équivalent à inverser la matrice A.
En pratique, il est impensable de calculer toutes les fonctions de bases pour chaque triangle car le nombre de triangles peut être énorme (de l’ordre de plusieurs millions par exemple). C'est pourquoi, on calcule les fonctions sur un triangle particulier dit de référence ayant pour sommets les points (0;0), (1;0),(0;1) et on en "déduit" les fonctions d'Argyris dans un triangle particulier.
Voici la liste des fonctions de base d'Argyris dans le triangle de référence avec la condition correspondante (cela signifie que le degré de liberté associé à la condition vaut 1 et que les autres valent 0).
(justifier avec la résolution matricielle ?)
φ
1
(
x
,
y
)
=
1
−
10
x
3
−
10
y
3
+
15
x
4
−
30
x
2
y
2
+
15
y
4
−
6
x
5
+
30
x
3
y
2
+
30
x
2
y
3
−
6
y
5
,
(
φ
1
(
0
,
0
)
=
1
)
,
φ
2
(
x
,
y
)
=
10
x
3
−
15
x
4
+
15
x
2
y
2
+
6
x
5
−
15
x
3
y
2
−
15
x
2
y
3
,
(
φ
2
(
1
,
0
)
=
1
)
,
φ
3
(
x
,
y
)
=
10
y
3
+
15
x
2
y
2
−
15
y
4
−
15
x
3
y
2
−
15
x
2
y
3
+
6
y
5
,
(
φ
3
(
0
,
1
)
=
1
)
,
φ
4
(
x
,
y
)
=
x
−
6
x
3
−
11
x
y
2
+
8
x
4
+
10
x
2
y
2
+
18
x
y
3
−
3
x
5
+
x
3
y
2
−
10
x
2
y
3
−
8
x
y
4
,
(
∂
x
φ
4
(
0
,
0
)
=
1
)
,
φ
5
(
x
,
y
)
=
y
−
11
x
2
y
−
6
y
3
+
18
x
3
y
+
10
x
2
y
2
+
8
y
4
−
8
x
4
y
−
10
x
3
y
2
+
x
2
y
3
−
3
y
5
,
(
∂
y
φ
5
(
0
,
0
)
=
1
)
,
φ
6
(
x
,
y
)
=
−
4
x
3
+
7
x
4
−
3.5
x
2
y
2
−
3
x
5
+
3.5
x
3
y
2
+
3.5
x
2
y
3
,
(
∂
x
φ
6
(
1
,
0
)
=
1
)
,
φ
7
(
x
,
y
)
=
−
5
x
2
y
+
14
x
3
y
+
18.5
x
2
y
2
−
8
x
4
y
−
18.5
x
3
y
2
−
13.5
x
2
y
3
,
(
∂
y
φ
7
(
1
,
0
)
=
1
)
,
φ
8
(
x
,
y
)
=
−
5
x
y
2
+
18.5
x
2
y
2
+
14
x
y
3
−
13.5
x
3
y
2
−
18.5
x
2
y
3
−
8
x
y
4
,
(
∂
x
φ
8
(
0
,
1
)
=
1
)
,
φ
9
(
x
,
y
)
=
−
4
y
3
−
3.5
x
2
y
2
+
7
y
4
+
3.5
x
3
y
2
+
3.5
x
2
y
3
−
3
y
5
,
(
∂
y
φ
9
(
0
,
0
)
=
1
)
,
φ
10
(
x
,
y
)
=
0.5
x
2
−
1.5
x
3
+
1.5
x
4
−
1.5
x
2
y
2
−
0.5
x
5
+
1.5
x
3
y
2
+
x
2
y
3
,
(
∂
x
x
2
φ
10
(
0
,
0
)
=
1
)
,
φ
11
(
x
,
y
)
=
x
y
−
4
x
2
y
−
4
x
y
2
+
5
x
3
y
+
10
x
2
y
2
+
5
x
y
3
−
2
x
4
y
−
6
x
3
y
2
−
6
x
2
y
3
−
2
x
y
4
,
(
∂
x
y
2
φ
11
(
0
,
0
)
=
1
)
,
φ
12
(
x
,
y
)
=
0.5
y
2
−
1.5
y
3
−
1.5
x
2
y
2
+
1.5
y
4
+
x
3
y
2
+
1.5
x
2
y
3
−
0.5
y
5
,
(
∂
y
y
2
φ
12
(
0
,
0
)
=
1
)
,
φ
13
(
x
,
y
)
=
0.5
x
3
−
x
4
+
0.25
x
2
y
2
+
0.5
x
5
−
0.25
x
3
y
2
−
0.25
x
2
y
3
,
(
∂
x
x
2
φ
13
(
1
,
0
)
=
1
)
,
φ
14
(
x
,
y
)
=
x
2
y
−
3
x
3
y
−
3.5
x
2
y
2
+
2
x
4
y
+
3.5
x
3
y
2
+
2.5
x
2
y
3
,
(
∂
x
y
2
φ
14
(
1
,
0
)
=
1
)
,
φ
15
(
x
,
y
)
=
1.25
x
2
y
2
−
0.75
x
3
y
2
−
1.25
x
2
y
3
,
(
∂
y
y
2
φ
15
(
1
,
0
)
=
1
)
,
φ
16
(
x
,
y
)
=
1.25
x
2
y
2
−
1.25
x
3
y
2
−
0.75
x
2
y
3
,
(
∂
x
x
2
φ
16
(
0
,
1
)
=
1
)
,
φ
17
(
x
,
y
)
=
x
y
2
−
3.5
x
2
y
2
−
3
x
y
3
+
2.5
x
3
y
2
+
3.5
x
2
y
3
+
2
x
y
4
,
(
∂
x
y
2
φ
17
(
0
,
1
)
=
1
)
,
φ
18
(
x
,
y
)
=
0.5
y
3
+
0.25
x
2
y
2
−
y
4
−
0.25
x
3
y
2
−
0.25
x
2
y
3
+
0.5
y
5
,
(
∂
y
y
2
φ
18
(
0
,
1
)
=
1
)
,
φ
19
(
x
,
y
)
=
2
(
−
8
x
2
y
2
+
8
x
3
y
2
+
8
x
2
y
3
)
,
(
0.5
(
∂
x
φ
19
(
0.5
,
0.5
)
+
∂
y
φ
19
(
0.5
,
0.5
)
)
=
1
)
,
φ
20
(
x
,
y
)
=
−
16
x
y
2
+
32
x
2
y
2
+
32
x
y
3
−
16
x
3
y
2
−
32
x
2
y
3
−
16
x
y
4
,
(
−
∂
x
φ
20
(
0
,
0.5
)
=
1
)
,
φ
21
(
x
,
y
)
=
−
16
x
2
y
+
32
x
3
y
+
32
x
2
y
2
−
16
x
4
y
−
32
x
3
y
2
−
16
x
2
y
3
,
(
−
∂
y
φ
21
(
0.5
,
0
)
=
1
)
,
{\displaystyle {\begin{array}{ll}\varphi _{1}(x,y)=1-10x^{3}-10y^{3}+15x^{4}-30x^{2}y^{2}+15y^{4}-6x^{5}+30x^{3}y^{2}+30x^{2}y^{3}-6y^{5},&(\varphi _{1}(0,0)=1),\\\varphi _{2}(x,y)=10x^{3}-15x^{4}+15x^{2}y^{2}+6x^{5}-15x^{3}y^{2}-15x^{2}y^{3},&(\varphi _{2}(1,0)=1),\\\varphi _{3}(x,y)=10y^{3}+15x^{2}y^{2}-15y^{4}-15x^{3}y^{2}-15x^{2}y^{3}+6y^{5},&(\varphi _{3}(0,1)=1),\\\varphi _{4}(x,y)=x-6x^{3}-11xy^{2}+8x^{4}+10x^{2}y^{2}+18xy^{3}-3x^{5}+x^{3}y^{2}-10x^{2}y^{3}-8xy^{4},&(\partial _{x}\varphi _{4}(0,0)=1),\\\varphi _{5}(x,y)=y-11x^{2}y-6y^{3}+18x^{3}y+10x^{2}y^{2}+8y^{4}-8x^{4}y-10x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3}-3y^{5},&(\partial _{y}\varphi _{5}(0,0)=1),\\\varphi _{6}(x,y)=-4x^{3}+7x^{4}-3.5x^{2}y^{2}-3x^{5}+3.5x^{3}y^{2}+3.5x^{2}y^{3},&(\partial _{x}\varphi _{6}(1,0)=1),\\\varphi _{7}(x,y)=-5x^{2}y+14x^{3}y+18.5x^{2}y^{2}-8x^{4}y-18.5x^{3}y^{2}-13.5x^{2}y^{3},&(\partial _{y}\varphi _{7}(1,0)=1),\\\varphi _{8}(x,y)=-5xy^{2}+18.5x^{2}y^{2}+14xy^{3}-13.5x^{3}y^{2}-18.5x^{2}y^{3}-8xy^{4},&(\partial _{x}\varphi _{8}(0,1)=1),\\\varphi _{9}(x,y)=-4y^{3}-3.5x^{2}y^{2}+7y^{4}+3.5x^{3}y^{2}+3.5x^{2}y^{3}-3y^{5},&(\partial _{y}\varphi _{9}(0,0)=1),\\\varphi _{10}(x,y)=0.5x^{2}-1.5x^{3}+1.5x^{4}-1.5x^{2}y^{2}-0.5x^{5}+1.5x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3},&(\partial _{xx}^{2}\varphi _{10}(0,0)=1),\\\varphi _{11}(x,y)=xy-4x^{2}y-4xy^{2}+5x^{3}y+10x^{2}y^{2}+5xy^{3}-2x^{4}y-6x^{3}y^{2}-6x^{2}y^{3}-2xy^{4},&(\partial _{xy}^{2}\varphi _{11}(0,0)=1),\\\varphi _{12}(x,y)=0.5y^{2}-1.5y^{3}-1.5x^{2}y^{2}+1.5y^{4}+x^{3}y^{2}+1.5x^{2}y^{3}-0.5y^{5},&(\partial _{yy}^{2}\varphi _{12}(0,0)=1),\\\varphi _{13}(x,y)=0.5x^{3}-x^{4}+0.25x^{2}y^{2}+0.5x^{5}-0.25x^{3}y^{2}-0.25x^{2}y^{3},&(\partial _{xx}^{2}\varphi _{13}(1,0)=1),\\\varphi _{14}(x,y)=x^{2}y-3x^{3}y-3.5x^{2}y^{2}+2x^{4}y+3.5x^{3}y^{2}+2.5x^{2}y^{3},&(\partial _{xy}^{2}\varphi _{14}(1,0)=1),\\\varphi _{15}(x,y)=1.25x^{2}y^{2}-0.75x^{3}y^{2}-1.25x^{2}y^{3},&(\partial _{yy}^{2}\varphi _{15}(1,0)=1),\\\varphi _{16}(x,y)=1.25x^{2}y^{2}-1.25x^{3}y^{2}-0.75x^{2}y^{3},&(\partial _{xx}^{2}\varphi _{16}(0,1)=1),\\\varphi _{17}(x,y)=xy^{2}-3.5x^{2}y^{2}-3xy^{3}+2.5x^{3}y^{2}+3.5x^{2}y^{3}+2xy^{4},&(\partial _{xy}^{2}\varphi _{17}(0,1)=1),\\\varphi _{18}(x,y)=0.5y^{3}+0.25x^{2}y^{2}-y^{4}-0.25x^{3}y^{2}-0.25x^{2}y^{3}+0.5y^{5},&(\partial _{yy}^{2}\varphi _{18}(0,1)=1),\\\varphi _{19}(x,y)={\sqrt {2}}(-8x^{2}y^{2}+8x^{3}y^{2}+8x^{2}y^{3}),&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!({\sqrt {0.5}}(\partial _{x}\varphi _{19}(0.5,0.5)+\partial _{y}\varphi _{19}(0.5,0.5))=1),\\\varphi _{20}(x,y)=-16xy^{2}+32x^{2}y^{2}+32xy^{3}-16x^{3}y^{2}-32x^{2}y^{3}-16xy^{4},&(-\partial _{x}\varphi _{20}(0,0.5)=1),\\\varphi _{21}(x,y)=-16x^{2}y+32x^{3}y+32x^{2}y^{2}-16x^{4}y-32x^{3}y^{2}-16x^{2}y^{3},&(-\partial _{y}\varphi _{21}(0.5,0)=1),\\\end{array}}}
Remarque 4 : L'ordre n'a a priori aucune importance. Pour la programmation (ou l’utilisation de manière générale), il faut néanmoins se fixer un ordre et le conserver tout le temps.
Remarque 5 : Cette construction n'est valable que pour le cas traité en exemple.
Pour trouver les fonctions de base d'Argyris dans un triangle donnée, il faut multiplier le vecteur constitué des différentes fonctions dans le triangle de référence par une certaine matrice
C
{\displaystyle C}
Soient trois points non-alignés
X
i
=
(
x
i
,
y
i
)
(
i
=
1
,
2
,
3
)
{\displaystyle X_{i}=(x_{i},y_{i})(i=1,2,3)}
T
{\displaystyle T}
T
^
{\displaystyle {\widehat {T}}}
T
{\displaystyle T}
X
^
{\displaystyle {\widehat {X}}}
(
x
^
,
y
^
)
{\displaystyle ({\widehat {x}},{\widehat {y}})}
T
^
{\displaystyle {\widehat {T}}}
F
:
T
^
→
T
{\displaystyle F:{\widehat {T}}\rightarrow T}
figure explicative, représentative ?
X
=
F
(
X
^
)
=
B
X
^
+
X
1
:=
(
x
2
−
x
1
x
3
−
x
1
y
2
−
y
1
y
3
−
y
1
)
(
x
^
y
^
)
+
(
x
1
y
1
)
{\displaystyle X=F({\widehat {X}})=B{\widehat {X}}+X_{1}:=\left({\begin{array}{ll}x_{2}-x_{1}&x_{3}-x_{1}\\y_{2}-y_{1}&y_{3}-y_{1}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{l}{\widehat {x}}\\{\widehat {y}}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{l}x_{1}\\y_{1}\end{array}}\right)}
Afin de simplifier l'écriture, nous notons :
B
:=
(
b
11
b
12
b
21
b
22
)
{\displaystyle B:=\left({\begin{array}{ll}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}}\right)}
Dans le reste de cette présentation, on utilisera des notations simplificatrices :
Pour tout
α
∈
N
∗
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{*}}
I
α
{\displaystyle I_{\alpha }}
matrice identité
α
×
α
{\displaystyle \alpha \times \alpha }
1
{\displaystyle 1}
0
{\displaystyle 0}
Pour tout couple
(
α
,
β
)
∈
N
∗
×
N
∗
{\displaystyle (\alpha ,\beta )\in \mathbb {N} ^{*}\times \mathbb {N} ^{*}}
0
α
×
β
{\displaystyle 0_{\alpha \times \beta }}
matrice nulle
α
×
β
{\displaystyle \alpha \times \beta }
0
{\displaystyle 0}
On note
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
X
3
{\displaystyle X_{3}}
X
3
{\displaystyle X_{3}}
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
|
e
i
|
{\displaystyle |e_{i}|}
e
i
{\displaystyle e_{i}}
i
∈
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle i\in \{1,2,3\}}
|
e
1
|
=
(
x
3
−
x
2
)
2
+
(
y
3
−
y
2
)
2
{\displaystyle |e_{1}|={\sqrt {(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}}}}
|
e
2
|
=
(
x
1
−
x
3
)
2
+
(
y
1
−
y
3
)
2
{\displaystyle |e_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{3})^{2}+(y_{1}-y_{3})^{2}}}}
|
e
3
|
=
(
x
2
−
x
1
)
2
+
(
y
2
−
y
1
)
2
{\displaystyle |e_{3}|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}
Soit la matrice
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
Θ
:=
(
b
11
2
2
b
11
b
21
b
21
2
b
11
b
12
b
11
b
22
+
b
12
b
21
b
21
b
22
b
12
2
2
b
12
b
22
b
22
2
)
{\displaystyle \Theta :=\left({\begin{array}{ccc}b_{11}^{2}&2b_{11}b_{21}&b_{21}^{2}\\b_{11}b_{12}&b_{11}b_{22}+b_{12}b_{21}&b_{21}b_{22}\\b_{12}^{2}&2b_{12}b_{22}&b_{22}^{2}\end{array}}\right)}
Soit la matrice
3
×
2
{\displaystyle 3\times 2}
A
:=
(
a
11
a
12
a
21
a
22
a
31
a
32
)
:=
(
|
e
1
|
−
2
0
0
0
|
e
2
|
−
2
0
0
0
|
e
3
|
−
2
)
(
1
/
2
1
/
2
−
1
0
0
−
1
)
B
T
{\displaystyle A:=\left({\begin{array}{ll}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{array}}\right):=\left({\begin{array}{lll}|e_{1}|^{-2}&0&0\\0&|e_{2}|^{-2}&0\\0&0&|e_{3}|^{-2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{ll}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\-1&0\\0&-1\end{array}}\right)B^{T}}
où
B
T
:=
(
b
11
b
21
b
12
b
22
)
{\displaystyle B^{T}:=\left({\begin{array}{ll}b_{11}&b_{21}\\b_{12}&b_{22}\end{array}}\right)}
Pour tout
i
∈
{
1
;
2
;
3
}
{\displaystyle i\in \{1;2;3\}}
f
i
=
a
i
1
v
i
y
−
a
i
2
v
i
x
{\displaystyle f_{i}=a_{i1}\,v_{i}^{y}-a_{i2}\,v_{i}^{x}}
g
i
=
a
i
1
v
i
x
+
a
i
2
v
i
y
{\displaystyle g_{i}=a_{i1}\,v_{i}^{x}+a_{i2}\,v_{i}^{y}}
Enfin, on note :
v
1
=
X
3
−
X
2
=
(
x
3
−
x
2
y
3
−
y
2
)
:=
(
v
1
x
v
1
y
)
;
{\displaystyle v_{1}=X_{3}-X_{2}=\left({\begin{array}{l}x_{3}-x_{2}\\y_{3}-y_{2}\end{array}}\right):=\left({\begin{array}{c}v_{1}^{x}\\v_{1}^{y}\end{array}}\right);}
v
2
=
X
1
−
X
3
=
(
x
1
−
x
3
y
1
−
y
3
)
:=
(
v
2
x
v
2
y
)
;
{\displaystyle v_{2}=X_{1}-X_{3}=\left({\begin{array}{l}x_{1}-x_{3}\\y_{1}-y_{3}\end{array}}\right):=\left({\begin{array}{c}v_{2}^{x}\\v_{2}^{y}\end{array}}\right);}
v
3
=
X
2
−
X
1
=
(
x
2
−
x
1
y
2
−
y
1
)
:=
(
v
3
x
v
3
y
)
;
{\displaystyle v_{3}=X_{2}-X_{1}=\left({\begin{array}{l}x_{2}-x_{1}\\y_{2}-y_{1}\end{array}}\right):=\left({\begin{array}{c}v_{3}^{x}\\v_{3}^{y}\end{array}}\right);}
et
w
1
=
(
v
1
x
v
1
x
2
v
1
x
v
1
y
v
1
y
v
1
y
)
:=
(
(
x
3
−
x
2
)
2
2
(
x
3
−
x
2
)
(
y
3
−
y
2
)
(
y
3
−
y
2
)
2
)
{\displaystyle w_{1}=\left({\begin{array}{c}v_{1}^{x}v_{1}^{x}\\2v_{1}^{x}v_{1}^{y}\\v_{1}^{y}v_{1}^{y}\end{array}}\right):=\left({\begin{array}{c}(x_{3}-x_{2})^{2}\\2(x_{3}-x_{2})(y_{3}-y_{2})\\(y_{3}-y_{2})^{2}\end{array}}\right)}
w
2
=
(
v
2
x
v
2
x
2
v
2
x
v
2
y
v
2
y
v
2
y
)
:=
(
(
x
1
−
x
3
)
2
2
(
x
1
−
x
3
)
(
y
1
−
y
3
)
(
y
1
−
y
3
)
2
)
{\displaystyle w_{2}=\left({\begin{array}{c}v_{2}^{x}v_{2}^{x}\\2v_{2}^{x}v_{2}^{y}\\v_{2}^{y}v_{2}^{y}\end{array}}\right):=\left({\begin{array}{c}(x_{1}-x_{3})^{2}\\2(x_{1}-x_{3})(y_{1}-y_{3})\\(y_{1}-y_{3})^{2}\end{array}}\right)}
w
3
=
(
v
3
x
v
3
x
2
v
3
x
v
3
y
v
3
y
v
3
y
)
:=
(
(
x
2
−
x
1
)
2
2
(
x
2
−
x
1
)
(
y
2
−
y
1
)
(
y
2
−
y
1
)
2
)
{\displaystyle w_{3}=\left({\begin{array}{c}v_{3}^{x}v_{3}^{x}\\2v_{3}^{x}v_{3}^{y}\\v_{3}^{y}v_{3}^{y}\end{array}}\right):=\left({\begin{array}{c}(x_{2}-x_{1})^{2}\\2(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})\\(y_{2}-y_{1})^{2}\end{array}}\right)}
Remarque 6 : Si
V
{\displaystyle V}
n
{\displaystyle n}
V
T
{\displaystyle V^{T}}
n
{\displaystyle n}
la transposée du vecteur V (où encore le vecteur transposé de V).
Exemple :
v
1
T
=
(
v
1
x
;
v
1
y
)
{\displaystyle v_{1}^{T}=(v_{1}^{x};v_{1}^{y})}
C
{\displaystyle C}
modifier
La matrice
C
{\displaystyle C}
C
=
D
∗
E
{\displaystyle C=D*E}
D
{\displaystyle D}
21
×
24
{\displaystyle 21\times 24}
D
:=
(
I
3
0
3
×
2
0
3
×
2
0
3
×
2
0
3
×
3
0
3
×
3
0
3
×
3
0
3
×
6
0
2
×
3
B
T
0
2
×
2
0
2
×
2
0
2
×
3
0
2
×
3
0
2
×
3
0
2
×
6
0
2
×
3
0
2
×
2
B
T
0
2
×
2
0
2
×
3
0
2
×
3
0
2
×
3
0
2
×
6
0
2
×
3
0
2
×
2
0
2
×
2
B
T
0
2
×
3
0
2
×
3
0
2
×
3
0
2
×
6
0
3
×
3
0
3
×
2
0
3
×
2
0
3
×
2
Θ
0
3
×
3
0
3
×
3
0
3
×
6
0
3
×
3
0
3
×
2
0
3
×
2
0
3
×
2
0
3
×
3
Θ
0
3
×
3
0
3
×
6
0
3
×
3
0
3
×
2
0
3
×
2
0
3
×
2
0
3
×
3
0
3
×
3
Θ
0
3
×
6
0
3
×
3
0
3
×
2
0
3
×
2
0
3
×
2
0
3
×
3
0
3
×
3
0
3
×
3
Q
)
{\displaystyle D:=\left({\begin{array}{l|l|l|l|l|l|l|l}I_{3}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 3}&0_{3\times 3}&0_{3\times 3}&0_{3\times 6}\\\hline 0_{2\times 3}&B^{T}&0_{2\times 2}&0_{2\times 2}&0_{2\times 3}&0_{2\times 3}&0_{2\times 3}&0_{2\times 6}\\\hline 0_{2\times 3}&0_{2\times 2}&B^{T}&0_{2\times 2}&0_{2\times 3}&0_{2\times 3}&0_{2\times 3}&0_{2\times 6}\\\hline 0_{2\times 3}&0_{2\times 2}&0_{2\times 2}&B^{T}&0_{2\times 3}&0_{2\times 3}&0_{2\times 3}&0_{2\times 6}\\\hline 0_{3\times 3}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&\Theta &0_{3\times 3}&0_{3\times 3}&0_{3\times 6}\\\hline 0_{3\times 3}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 3}&\Theta &0_{3\times 3}&0_{3\times 6}\\\hline 0_{3\times 3}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 3}&0_{3\times 3}&\Theta &0_{3\times 6}\\\hline 0_{3\times 3}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 3}&0_{3\times 3}&0_{3\times 3}&Q\end{array}}\right)}
où
Q
:=
(
f
1
0
0
g
1
0
0
0
f
2
0
0
g
2
0
0
0
f
3
0
0
g
3
)
{\displaystyle Q:=\left({\begin{array}{ccc|ccc}f_{1}&0&0&g_{1}&0&0\\0&f_{2}&0&0&g_{2}&0\\0&0&f_{3}&0&0&g_{3}\end{array}}\right)}
E
{\displaystyle E}
24
×
21
{\displaystyle 24\times 21}
E
:=
(
I
18
0
18
×
3
0
3
×
18
L
T
0
3
×
0
)
{\displaystyle E:=\left({\begin{array}{c|c}I_{18}&0_{18\times 3}\\\hline 0_{3\times 18}&L\\\hline T&0_{3\times 0}\end{array}}\right)}
où
L
:=
(
|
e
1
|
0
0
0
|
e
2
|
0
0
0
|
e
3
|
)
{\displaystyle L:=\left({\begin{array}{ccc}|e_{1}|&0&0\\0&|e_{2}|&0\\0&0&|e_{3}|\end{array}}\right)}
I
18
{\displaystyle I_{18}}
18
×
18
{\displaystyle 18\times 18}
T
:=
(
T
1
T
2
T
3
)
{\displaystyle T:=\left({\begin{array}{c|c|c}T_{1}&T_{2}&T_{3}\end{array}}\right)}
T
1
{\displaystyle T_{1}}
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
T
1
:=
15
8
(
0
−
1
1
1
0
−
1
−
1
1
0
)
{\displaystyle T_{1}:={\frac {15}{8}}\left({\begin{array}{lll}0&-1&1\\1&0&-1\\-1&1&0\end{array}}\right)}
T
2
{\displaystyle T_{2}}
3
×
6
{\displaystyle 3\times 6}
T
2
:=
−
7
16
(
0
1
×
2
v
1
T
v
1
T
v
2
T
0
1
×
2
v
2
T
v
3
T
v
3
T
0
1
×
2
)
{\displaystyle T_{2}:={\frac {-7}{16}}\left({\begin{array}{ccc}0_{1\times 2}&v_{1}^{T}&v_{1}^{T}\\v_{2}^{T}&0_{1\times 2}&v_{2}^{T}\\v_{3}^{T}&v_{3}^{T}&0_{1\times 2}\end{array}}\right)}
T
3
{\displaystyle T_{3}}
3
×
9
{\displaystyle 3\times 9}
T
3
:=
1
32
(
0
1
×
3
−
w
1
T
w
1
T
w
2
T
0
1
×
3
−
w
2
T
−
w
3
T
w
3
T
0
1
×
3
)
{\displaystyle T_{3}:={\frac {1}{32}}\left({\begin{array}{ccc}0_{1\times 3}&-w_{1}^{T}&w_{1}^{T}\\w_{2}^{T}&0_{1\times 3}&-w_{2}^{T}\\-w_{3}^{T}&w_{3}^{T}&0_{1\times 3}\end{array}}\right)}
Très complexe et longue, utilise des fonctionnelles. À faire quand même ?
