Yapper

L'essentiel du cours de Mathématiques de Math SUP

Logique et Ensembles

En pratique, on écrit ${\mathcal {P}}\Rightarrow {\mathcal {Q}}$ pour dire "si ${\mathcal {P}}$ est vraie alors ${\mathcal {Q}}$ est vraie (et si ${\mathcal {Q}}$ est fausse alors ${\mathcal {P}}$ est fausse).

Pour déterminer $f^{-1}$, on résout parfois $y=f(x)$ en utilisant la caractérisation suivante $\forall x\in E,\forall y\in F,\quad y=f(x)\Leftrightarrow x=f^{-1}(y)$

Si $f$ est bijective de $E$ dans $F$ alors $f\circ f^{-1}=id_{F}$ et $f^{-1}\circ f=id_{E}$.

Si $f$ est bijective de $E$ dans $F$ et $g$ de $F$ dans $G$ alors : $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

La condition suffisante implique le résultat ($CS\Rightarrow R$) alors que le résultat implique la condition nécessaire $R\Rightarrow CN$.

Récurrence

Soit ${\mathcal {P}}$, une propriété définie sur $\mathbb {N}$ et ${\mathcal {P}}(n)$ la proposition : "La propriété ${\mathcal {P}}$ est vraie au rang $n$".

Rédaction type: Montrons par récurrence que pour tout entier $n\geq n_{0}$, ${\mathcal {P}}(n)$.

1. Initialisation : ${\mathcal {P}}(n_{0})$ en effet ...
2. Hérédité : Soit $n\geq n_{0}$. Supposons ${\mathcal {P}}(n)$. On veut ${\mathcal {P}}(n+1)$ c'est-à-dire ...

Sommes & Produits

Définition : Somme simple

$\sum _{k=p}^{q}a_{k}=a_{p}+\cdots +a_{q}$ Cette expression se lit : "sigma des $a_{k}$ de $k=p$ à $q$" ou "somme des $a_{k}$ pour $k$ variant de $p$ à $q$".

Définition : Produit simple

$\prod _{k=p}^{q}a_{k}=a_{p}\times \cdots \times a_{q}$

Cette expression se lit : "i des $a_{k}$ de $k=p$ à $q$" ou "produit des $a_{k}$ pour $k$ variant de $p$ à $q$".

Produits ...

$\prod _{k=p}^{q}a_{k}\prod _{k=p}^{q}b_{k}=\prod _{k=p}^{q}a_{k}b_{k}$

$\forall \lambda ...,\prod _{k=p}^{q}\lambda =\lambda ^{p-q+1}$

Nombres complexe et Trigonométrie

Exponentielle complexe

Définition

On définit l'exponentielle d'un nombre complexe $z=x+iy$ par : $e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y))$

Si $z$ est un nombre complexe non nul de module $r$ et d'argument $\theta$, on peut écrire

• $z=re^{i\theta }=r(\cos \theta +i\sin \theta )$
• ${\bar {z}}=re^{-i\theta }=r(\cos \theta -i\sin \theta )$

Propriétés

L'intérêt de cette notation produit des propriétés de l'exponentielle complexe.

• $\forall (a,b)\in \mathbb {R} ^{2},e^{a+ib}=e^{a}e^{ib}$
• $\forall (a,b)\in \mathbb {R} ^{2},e^{ia}e^{ib}=e^{(a+b)i}$
• $\forall (z,z')\in \mathbb {C} ,e^{z+z'}=e^{z}e^{z'}$
• $\forall z\in \mathbb {C} ,|e^{z}|=e^{\Re (z)}$

Propriétés usuelles du module et de l'argument

Déf : Conjugué

Module

• $|z|={\sqrt {\Re (z)^{2}+\Im (z)^{2}}}$
• $z{\bar {z}}=|z|^{2}=\Re (z)^{2}+\Im (z)^{2}$
• $|z|=0\Leftrightarrow z=0$
• $|{\bar {z}}|=|z|$, $|-z|=|z|$
• $...$
• $|z|\geq |\Re (z)|$ et $|z|\geq |\Im (z)|$
• $|z|\geq |\Re (z)|+|\Im (z)|$
• $|zz'|=|z||z'|$
• ${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}$
• $\forall n\in \mathbb {N} ,|z^{n}|=|z|^{n}$
• $|{\frac {z}{z'}}|={\frac {|z|}{|z'|}}$
• L'inégalité triangulaire : $||z|-|z'||\leq |z\pm z'|\leq |z|+|z'|$ (pas comme dans ...)

Limites, continuité et comparaison des fonctions

Définitions

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$, à valeurs réelles.

$f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $x_{0}\in \mathbb {R}$ (que l’on note $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l$ ou bien $\lim _{x_{0}}f=l$ ou encore $f(x)\to _{x\to x_{0}}l$) signifie :

• $\forall \epsilon >0,\exists \eta >0,\forall x\in D,|x-x_{0}|\leq \epsilon \Rightarrow |f(x)-l|\leq \eta$ si $l\in \mathbb {R}$
• $\forall A>0,\exists \alpha >0,\forall x\in D,|x-x_{0}|\leq \alpha \Rightarrow f(x)\geq A$ si $l=+\infty$
• $\forall A>0,\exists \alpha >0,\forall x\in D,|x-x_{0}|\leq \alpha \Rightarrow f(x)\leq -A$ si $l=+\infty$

En fr, quel que soit $\epsilon >0$ (fixée, aussi petit que l’on veut) il existe $\alpha >0$ (qui dépend de $\epsilon$) tel que pour tout réel $x$, si $x$ est assez proche de $x_{0}$ alors $f(x)$ est à une distance inférieure à $l$ de $\epsilon$.

Remarque : $|x-x_{0}|\leq \alpha \Leftrightarrow x\in [\alpha -x_{0},\alpha +x_{0}]$

Intégrales

Règles de Bioche

Ces règles ont été formulées par Charles Bioche lorsqu’il était professeur en mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand. Dans la suite, $f(t)$ est une expression rationnelle en $\sin(t)$ et $\cos(t)$, c'est-à-dire une expression obtenue à l'aide de $\sin(t)$, $\cos(t)$, des nombres réels et les quatre opérations $+,-,\times ,/$ ; on peut encore écrire $f(t)={\frac {P(\sin t,\cos t)}{Q(\sin t,\cos t)}}$, où $P$ et $Q$ sont des polynômes à deux variables, à coefficients réels.

Ainsi, pour calculer $\int f(t)\mathrm {d} t$,

on forme l'intégrande : $\omega (t)=f(t)\mathrm {d} t$. Ensuite,

• Si $\omega (-t)=\omega (t)$, un changement de variable judicieux est $u(t)=\cos(t)$.
• Si $\omega (\pi -t)=\omega (t)$, un changement de variable judicieux est $u(t)=\sin(t)$.
• Si $\omega (\pi +t)=\omega (t)$, un changement de variable judicieux est $u(t)=\tan(t)$.
• Si 2 des 3 relations précédentes sont vraies (dans ce cas les 3 relations sont vraies), un changement de variable judicieux est $u(t)=\cos(2t)$.
• Dans les autres cas, le changement de variable $u(t)=\tan(t/2)$ s'avère souvent judicieux. On se réferera à ce sujet à l’article sur les formules trigonométriques impliquant la tangente de l'arc moitié

Ces règles ne constituent pas un véritable théorème, mais elles conduisent souvent au bon résultat et permettent le cas échéant de simplifier les calculs. Elles ne sont utilisables dans la plupart des cas que lorsque $f(t)$ comporte des fonctions trigonométriques. Dans le cas où $f$ est une fraction rationnelle en sinus et cosinus les règles de Bioche permettent toujours de se ramener à une primitive de fraction rationnelle qui se calcule aisément par décomposition en éléments simples.

Sommes et Produits

Généralités sur les Sommes simples

Définition

$\sum _{k=p}^{n}a_{k}=a_{p}+a_{p+1}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$

$\prod _{k=p}^{n}a_{k}=a_{p}\times a_{p+1}\times \cdots \times a_{n-1}\times a_{n}$

L'indice de sommation $k$ est virtuel. Le résultat ne dépend pas de $k$

Propriétés

Relation de Chasles

$\sum _{k=p}^{n}a_{k}=\sum _{k=p}^{q}a_{k}+\sum _{k=q+1}^{n}a_{k}$

$\prod _{k=p}^{n}a_{k}=\prod _{k=p}^{q}a_{k}\prod _{k=q+1}^{n}a_{k}$

Combinaison linéaire d'une somme

$\sum _{k}(\lambda a_{k}+\mu b_{k})=\lambda \sum _{k}a_{k}+\mu \sum _{k}b_{k}$

Évidence

$\prod _{k}a_{k}b_{k}=\prod _{k}a_{k}\prod _{k}b_{k}$

Quelques classiques

Somme

• $\sum _{k=p}^{n}a=(n-p+1)a$
• $\sum _{k=0}^{n}k=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$
• On détermine $\sum _{k=0}^{n}k^{p}$ ($p\in \mathbb {N} ^{*}$) en développant : $\sum _{k=0}^{n}((k+1)^{p}-k^{p})$ de deux façons différentes : avec les dominos et en développant les puissances.
• $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {k}{n}}a^{k}b^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {k}{n}}a^{n-k}b^{k}$
• $a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum _{k=0}^{n}a^{k}b^{n-k}$

Produit

• $\prod _{k=1}^{n}k=n!$
• $\prod _{k=p}^{n}a=a^{n-p+1}$
• $\prod _{k=1}^{n}2k=2^{n}n!$ (produit des nombres pairs)
• $\prod _{k=0}^{n-1}(2k+1)={\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(2k+1)\prod _{k=1}^{n}(2k)}{\prod _{k=1}^{n}(2k)}}={\frac {\prod _{k=1}^{2n}k}{2^{n}n!}}={\frac {(2n)!}{2^{n}n!}}$ (produit des nombres pairs)

Exponentielle et Logarithme : lien Somme-Produit

• $\sum _{k}\ln(a_{k})=\ln \left(\prod _{k}a_{k}\right)$
• $\prod _{k}\exp(a_{k})=\exp \left(\sum _{k}a_{k}\right)$

Les dominos (multiplicatifs)

$\prod _{k=p}^{n}{\frac {\triangle _{k+1}}{\triangle _{k}}}={\frac {\triangle _{n+1}}{\triangle _{p}}}$

Réindexation ou Changement d'indice

On peut réindexer la somme $\sum _{k=p}^{n}a_{k}$ ou le produit $\prod _{k=p}^{n}a_{k}$ en posant :

• $j=m+k$ (où $m$ est un entier relatif quelconque) : on translate les indices
• $j=n+p-k$ : on somme/multiplie dans l’ordre inverse

Il faut changer les bornes (qui doivent êtres croissantes) et éliminer $k$.

Disjonction pair/impair

$\sum _{k=0}^{n}a_{k}=\sum _{\stackrel {k=0}{k{\text{ pair}}}}^{n}a_{k}+\sum _{\stackrel {j=0}{j{\text{ impair}}}}^{n}a_{j}=\sum _{p=0}^{E\left({\frac {n}{2}}\right)}a_{2p}+\sum _{q=1}^{E\left({\frac {n-1}{2}}\right)}a_{2q+1}$

Méthodes pour calculer une somme

Il y a exactement trois méthodes pour calculer une somme :

1. Le binôme
2. Les dominos ou le téléscope
3. Les suites géométriques

La disjonction pair/impair n’est pas une méthode de calcul !

Le binôme

On utilise cette méthode ssi il y a des coefficients du binôme. On cherche à utiliser l'égalité $\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\square ^{k}=(1+\square )^{n}$

Rappels :

• ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-p)!}}$
• ${\binom {n}{k}}={\frac {\overbrace {(n-p+1)(n-p+2)...n} ^{k{\text{ termes}}}}{\underbrace {k!} _{k{\text{ termes}}}}}$
• ${\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}$
• ${\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}$
• ${\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}$

$\forall (a,b)\in \mathbb {C} ^{2},\quad (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}$ on met $k$ sur l’objet le + compliqué

Le triangle de Pascal est un arrangement géométrique des coefficients binomiaux dans un triangle. À la ligne $n$ et à la colonne $k$ ($0\leq k\leq n$) est placé le coefficient binomial ${\binom {n}{k}}$.

Les dominos (ou le téléscope)

On utilise cette méthode ssi on a une différence. On cherche à utiliser $\sum _{k=p}^{n}(\square _{k+1}-\square _{k})=\square _{n+1}-\square _{p}$

On peut faire une cascade ou utiliser la séquence classique sur les sommes (Dispatching, Réindexation puis Concaténation).

Les suites géométriques

On utilise cette méthode dans tous les autres cas. On cherche à utiliser $\sum _{k=0}^{n}\square ^{k}={\frac {1-\square ^{n+1}}{1-\square }}$

On vise donc $\square ^{k}$ (avec $\square$ qui ne dépend pas de $k$).

Sommes doubles

$\left(\sum _{k}\square _{k}\right)\left(\sum _{k}\triangle _{k}\right)=\sum _{k}\square _{k}\sum _{p}\triangle _{p}=\sum _{k}\sum _{p}\square _{k}\triangle _{p}$

Inégalités et égalités

Comment établir des inégalités (et des égalités) ?

Méthode Directe

Majorations/minorations grossières

On a le théorème suivant :

• Pour majorer (respectivement minorer) $a+b$, on majore (respectivement minore) $a$ et on majore (respectivement minore) $b$.
• Pour majorer (respectivement minorer) $a-b$, on majore (respectivement minore) $a$ et on minore (respectivement majore) $b$.
• Pour majorer (respectivement minorer) ${\frac {a}{b}}$, on majore $a$ et on minore $b$.

Ainsi, si on a un encadrement de $x$, on peut en déduire un encadrement d'une expression en fonction de $x$.

Si on a des valeurs absolues, on s'en débarrasse pour pouvoir appliquer les règles énoncées ci-dessus. $|\square |={\sqrt {\square ^{2}}}=\left\{{\begin{array}{l}+\square \quad {\text{si }}\square \geq 0\\-\square \quad {\text{si }}\square \leq 0\end{array}}\right.\quad \not ={\sqrt {\square }}^{2}=\square$

Méthode de la quantité conjuguée $\square -\triangle ={\frac {(\square -\triangle )(\square +\triangle )}{\square +\triangle }}={\frac {\square ^{2}-\triangle ^{2}}{\square +\triangle }}$

Paradigme

On veut montrer $A\leq B$. On fait :

• $A=\cdots \leq \cdots \leq B$ si on peut faire des calculs sur $A$,
• $B=\cdots \geq \cdots \geq A$ si on peut faire des calculs sur $B$,
• $B-A=\cdots \geq \cdots \geq 0$.

Champs d'application

Le mixte ne peut pas se faire de façon directe !

Les inégalités autour des monômes se font généralement directement.

Méthode Transmission

Champs d'application

La méthode transmission nécessite d’utiliser une autre question (généralement la précédente).

Transmission classique

On part (exceptionnellement) de l'hypothèse.

On fait des calculs pour aboutir à la conclusion avec des implications $\Rightarrow$ en les justifiant (car les équivalences $\Leftrightarrow$ sont inutiles ici et difficiles à justifier).

Changement de variable

On applique l'inégalité (ou l'encadrement) précédent(e) avec ..., ainsi

Méthode Intégrale

Paradigme

1. On écrit $f(b)-f(a)=\int _{a}^{b}f'(t)dt$ (ou bien parfois $|f(b)-f(a)|=\left|\int _{a}^{b}f'(t)dt\right|\leq \left|\int _{a}^{b}|f'(t)|dt\right|$).
2. On se débarrasse sur $[a,b]$, par majoration grossièrement mais pas débile de $f'(t)$.
3. On intègre l'inégalité (ou l'encadrement) sur $[a,b]$.

Champs d'application

Si on voit des différences, notamment de mixtes simples.

Les inégalités strictes ne peuvent pas se faire avec cette méthode (à moins de justifier) car en intégrant elles deviennent larges.

Méthode Variationnelle

Paradigme

1. On introduit la fonction différence $[\phi :x\longmapsto A-B]$
2. On établit le CV de $\phi$
3. On étudie ses variations.
4. On conclue sur le signe de $\phi$.

Champs d'application

C'est une méthode refuge (à éviter), mais quand c’est du mixte (sans différence et non simple), on ne peut pas faire autrement.

Intégration

Définitions

Subdivision d'un segment

Une subdivision du segment $[a,b]$ est une famille $(a_{0},\cdots ,a_{N})$ de réels vérifiant $a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{N}=b$ avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Fonction en escalier

Une fonction réele $f$ est diteen escalier sur $[a,b]$ s'il existe une subdivision $(a_{0},\cdots ,a_{N})$ du segment $[a,b]$ et des réels $(\lambda _{0},\cdots ,\lambda _{N-1})$ tels que, pour tout $k\in [[0,N-1]]$, pour tout $x\in ]a_{k},a_{k+1}[$, $f(x)=\lambda _{k}$

Intégrale d'une fonction en escalier

Soit $(a_{0},\cdots ,a_{N})$ une subdivision de $[a,b]$ (où ...) et $f$ une fonction en escalier sur $[a,b]$ telle que $\forall k\in [[0,N-1]],\forall x\in ]a_{k},a_{k+1}[,f(x)=\lambda _{k}$ alors: $\int _{a}^{b}f=\sum _{k=0}^{N-1}(a_{k+1}-a_{k})\lambda _{k}$.

Intégrale d'une fonction à valeurs complexes

Si $f$ est une fonction continue par morceaux sur $[a,b]$ à valeurs complexe, alors $\int _{a}^{b}f=\int _{a}^{b}\Re (f)+i\int _{a}^{b}\Im (f)$

1. $\int _{a}^{b}\Re (f)=\Re \left(\int _{a}^{b}f\right)$
2. $\int _{a}^{b}\Im (f)=\Im \left(\int _{a}^{b}f\right)$
3. $\int _{a}^{b}{\overline {f}}={\overline {\int _{a}^{b}f}}$

Règles générales d'intégration

Soient $f$ et $g$ sont deux fonctions continues par morceaux sur $[a,b]$.

• Linéarité : $\int _{a}^{b}(\lambda f+\mu g)=\lambda \int _{a}^{b}f+\mu \int _{a}^{b}g$ (pour tout couple de réels $(\lambda ,\mu )$)
• Positivité : si f est une fonction positive sur $[a,b]$, alors $\int _{a}^{b}f\geq 0$ ($a<b$)
• Croissance : si $f\leq g$, alors $\int _{a}^{b}f\leq \int _{a}^{b}g$
• Relation de Chasles : $\int _{a}^{b}f=\int _{a}^{c}f+\int _{c}^{b}f$ et en particulier $\int _{a}^{b}f=-\int _{b}^{a}f$
• Intégration par parties : si f et g sont C^1 sur $[a,b]$ $\int _{a}^{b}fg'=\left[fg\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}gf'$

Inégalités

Inégalité de la moyenne

Soient $f$ et $g$ $C^{0}$ par morceaux sur $[a,b]$.

Le réel ${\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f$ est appelé valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$.

Si $m\leq f\leq M$ et $g\geq 0$ sur [a,b] alors $m\int _{a}^{b}g\leq \int _{a}^{b}fg\leq M\int _{a}^{b}g$.

En particulier $m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f\leq M(b-a)$

Inégalité de Cauchy-Schwarz

L'application qui a $(f,g)\in ({\mathcal {C}}^{0}([a,b],\mathbb {R} ))^{2}$ associe $\langle f|g\rangle =\int _{a}^{b}fg$ définie un produit scalire sur ${\mathcal {C}}^{0}([a,b],\mathbb {R} )$ Ainsi : $\left|\int _{a}^{b}fg\right|\leq {\sqrt {\int _{a}^{b}f^{2}}}{\sqrt {\int _{a}^{b}g^{2}}}$ ou encore $\left(\int _{a}^{b}fg\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f^{2}\right)\left(\int _{a}^{b}g^{2}\right)$

Inégalité triangulaire

Soit $f$ une fonction $C^{0}$ par morceaux sur $[a,b]$.

Alors : $\left|\int _{a}^{b}f\right|\leq \left|\int _{a}^{b}|f|\right|$.

En particulier si $a<b$, alors $\left|\int _{a}^{b}f\right|\leq \int _{a}^{b}|f|$.

Astuce

$\int _{0}^{1}t^{n}dt={\frac {1}{n+1}}$

Fonction continue, positive dont l'intégrale est nulle

Si f est continue et positive sur [a,b], alors: $\int _{a}^{b}f=0\Leftrightarrow \forall x\in [a,b],f(x)=0$

Conséquences :

1. Si $f$ est continue et n’est pas la fonction nulle, alors $\int _{a}^{b}f>0$.
2. Si $f$ est à valeurs réelles, continue sur $[a,b]$, et si $\int _{a}^{b}f=0$, alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f(c)=0$.
3. Si $f$ est positive, continue par morceaux sur $[a,b]$ et si $\int _{a}^{b}f=0$, alors $f$ est nulle en tout point où elle est continue.

Sommes Riemann

Si f est une fonction C^0 parmorceaux sur [a,b], la suite des sommes de Riemann associée à f est donnée par : $R_{n}={\frac {b-a}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(a_{k})=\sum _{k=0}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)$ ou bien $R_{n}'={\frac {b-a}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(a_{k})$

$R_{n}$ correspond à l'intégrale de la fonction en escalier qui prend la valeur $f(a_{k})$ sur $[a_{k},a_{k+1}[$ (où $k\in [[0,n-1]]$).

Si f est continue sur [a,b], alors $lim_{n\to +\infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(a_{k})=lim_{n\to +\infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(a_{k})=\int _{a}^{b}f$

Pour faire apparaître une somme de Riemann dans une suite $(U_{n})$, on essaye d'écrire$U_{n}$ sous la forme ${\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)$ ou ${\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\left({\frac {k}{n}}\right)$. On en déduit $\lim _{n\to +\infty }U_{n}=\int _{0}^{1}f$

Primitives de fonctions simples

À une constante près !!!

$\int f'(x)f(ax+b)dx={\frac {1}{a}}F(ax+b)$

Primitives de fonctions rationnelles

• $\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}$ si $n\neq -1$
• $\int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|$
• $\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\operatorname {Arctan} (x)$
• $\int {\frac {dx}{1-x^{2}}}={\frac {1}{2}}\ln {\left|{\frac {x+1}{x-1}}\right|}=\operatorname {Argth} (x)$

Primitives de fonctions logarithmes

• $\int \ln(x)dx=x\ln(x)-x$

Primitives de fonctions exponentielles

• $\int e^{x}dx=e^{x}$

Primitives de fonctions irrationnelles

• $\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx=\operatorname {Arcsin} (x)$
• $\int {\frac {-dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx=\operatorname {Arccos} (x)$

Primitives de fonctions trigonométriques

• $\int \cos(x)dx=\sin(x)$
• $\int \sin(x)dx=-\cos(x)$

Primitives de fonctions hyperboliques

• $\int \operatorname {sinh} (x)dx=\operatorname {cosh} (x)$
• $\int \operatorname {cosh} (x)dx=\operatorname {sinh} (x)$

Primitives de fonctions circulaires réciproques

Elles s'obtiennent dans la plupart des cas par intégration par parties. On suppose $a\neq 0$.

• $\int \operatorname {Arcsin} \,\left({\frac {(}{x}}){a}\right)dx=x\operatorname {Arcsin} \,\left({\frac {(}{x}}){a}\right)+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$
• $\int \operatorname {Arccos} \,\left({\frac {(}{x}}){a}\right)dx=x\operatorname {Arccos} \,\left({\frac {(}{x}}){a}\right)-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$
• $\int \operatorname {Arctan} \,\left({\frac {(}{x}}){a}\right)dx=x\operatorname {Arctan} \,\left({\frac {(}{x}}){a}\right)-{\frac {a}{2}}\ln(a^{2}+x^{2})+C$
• $\int \operatorname {Arccotan} \,\left({\frac {(}{x}}){a}\right)dx=x\operatorname {Arccotan} \,\left({\frac {(}{x}}){a}\right)+{\frac {a}{2}}\ln(a^{2}+x^{2})+C$
• $\int \operatorname {Arcsec} \left({\frac {(}{x}}){a}\right)dx=x\,\operatorname {Arcsec} \left({\frac {(}{x}}){a}\right)-a\,\ln {\left[{\frac {(}{x}}){a}\,\left(1+{\sqrt {1-{a^{2} \over x^{2}}}}\right)\right]}$
• $\int \operatorname {Arccosec} \left({\frac {(}{x}}){a}\right)dx=x\,\operatorname {Arccosec} \left({\frac {(}{x}}){a}\right)+a\,\ln {\left[{\frac {(}{x}}){a}\,\left(1+{\sqrt {1-{a^{2} \over x^{2}}}}\right)\right]}$

Primitives de fonctions hyperboliques réciproques

On suppose $a\neq 0$.

• $\int \operatorname {argsh} \,\left({\frac {(}{x}}){a}\right)dx=x\,\operatorname {argsh} \,\left({\frac {(}{x}}){a}\right)-{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+C$
• $\int \operatorname {argch} \,\left({\frac {(}{x}}){a}\right)dx=x\,\operatorname {argch} \,\left({\frac {(}{x}}){a}\right)-{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}+C$
• $\int \operatorname {argth} \,\left({\frac {(}{x}}){a}\right)dx=x\,\operatorname {argth} \,\left({\frac {(}{x}}){a}\right)+{\frac {a}{2}}\ln(a^{2}-x^{2})+C$
• $\int \operatorname {argcoth} \,\left({\frac {(}{x}}){a}\right)dx=x\,\operatorname {argcoth} \,\left({\frac {(}{x}}){a}\right)+{\frac {a}{2}}\ln(x^{2}-a^{2})+C$
• $\int \operatorname {argsech} \left({\frac {(}{x}}){a}\right)dx=x\,\operatorname {argsech} \left({\frac {(}{x}}){a}\right)-a\,\operatorname {arctan} \left({\sqrt {{a^{2} \over x^{2}}-1}}\right)+C$
• $\int \operatorname {argcosech} \left({\frac {(}{x}}){a}\right)dx=x\,\operatorname {argcosech} \left({\frac {(}{x}}){a}\right)+a\,\ln {\left[{\frac {(}{x}}){a}\left(1+{\sqrt {1+{a^{2} \over x^{2}}}}\right)\right]}+C$

Dérivation

$\left(\sum _{k}\lambda _{k}f_{k}\right)=\sum _{k}\lambda _{k}f_{k}'$

$\left(\prod _{k}f_{k}\right)=\sum _{k}f_{k}'\prod _{j\neq k}f_{j}$

Fonctions usuelles

Fonction	Ensembles	Propriétés	Dérivée
Logarithme (népérien)	$\mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R}$	$C^{\infty }$, strictement croissante, bijective	${\frac {1}{x}}$
Exponentielle	$\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}^{*}$	$C^{\infty }$, strictement croissante, bijection réciproque du logarithme (népérien)	$\exp(x)=e^{x}$
Sinus	$\mathbb {R} \to [-1,1]$	$C^{\infty }$, $2\pi$-périodique	$\cos(x)$
Cosinus	$\mathbb {R} \to [-1,1]$	$C^{\infty }$, $2\pi$-périodique	$-\sin(x)$
Tangente	$\mathbb {R} -\left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}\to \mathbb {R}$	$C^{\infty }$, $\pi$-périodique, strictement croissante par intervalles	$1+\tan ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$
Arcsinus	$[-1,1]\to \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$	Continue sur $[-1,1]$ et $C^{\infty }$ sur $]-1,1[$, bijection réciproque de sinus restreint, strictement croissante	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
Arccosinus	$[-1,1]\to [0,\pi ]$	Continue sur $[-1,1]$ et $C^{\infty }$ sur $]-1,1[$, bijection réciproque de cosinus restreint, strictement décroissante	${\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
Arctangente	$\mathbb {R} \to \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$	$C^{\infty }$, bijection réciproque de tangente restreint, strictement croissante	${\frac {1}{1+x^{2}}}$