Valeur absolue/Exercices/Simplification d'écriture

Exercice 1

Écrire les nombres et expressions sans les barres de valeur absolue. Justifier.

1. $|{\sqrt {5}}-3|$

2. $|\pi -3,14|$

3. $\left|{\sqrt {2}}-{\frac {3}{2}}\right|$

4. $|{\sqrt {3}}-1|$

Solution

À chaque fois, le plus simple est de comparer les carrés des deux membres de la soustraction :

1. $5<9$, donc ${\sqrt {5}}<{\sqrt {9}}=3$, donc $|{\sqrt {5}}-3|=3-{\sqrt {5}}$

2. $\pi >3,14$, donc $|\pi -3,14|\,=\pi -3,14$

3. $2={\frac {8}{4}}<{\frac {9}{4}}$, donc ${\sqrt {2}}<{\sqrt {\dfrac {9}{4}}}={\dfrac {3}{2}}$, d'où $\left|{\sqrt {2}}-{\frac {3}{2}}\right|={\frac {3}{2}}-{\sqrt {2}}$

4. $3>1$, donc ${\sqrt {3}}>{\sqrt {1}}=1$, d'où $|{\sqrt {3}}-1|={\sqrt {3}}-1$

 

Exercice 2

Écrire l'expression sans les barres de valeur absolue. Justifier.

$A=|x+3|+|x-2|$

On suppose que $x\in [-3;2]$.

Solution

• $x\geq -3$, donc $x+3\geq 0$ et $|x+3|=x+3$
• $x\leq 2$, donc $x-2\leq 0$ et $|x-2|=2-x$

Par conséquent, $A=|x+3|+|x-2|=x+3+2-x=5$