Valeur absolue/Exercices/Valeur absolue et inégalités

Exercice 1

En utilisant l'interprétation de la valeur absolue en termes de distance, écrire sous forme d'intervalles ou en extensions les ensembles de solutions des (in)équations suivantes :

1. $|x-3|={\frac {1}{2}}$ ;
2. $|x-7{,}5|={\frac {1}{2}}$ ;
3. $|x+2|\geq {\sqrt {3}}$ ;
4. $|x+2|>{\sqrt {3}}$ ;
5. $|x+{\sqrt {2}}|=3$ ;
6. $|x+3{\sqrt {2}}|={\sqrt {2}}$ ;
7. $|x-8|<5$ ;
8. $|5-x|\leq 5$ ;
9. $|5-x|=3{,}2$.

Solution

1. $S=\{2{,}5,\,3{,}5\}$.
2. $S=\{7,\,8\}$.
3. $S=\left]-\infty ,-2-{\sqrt {3}}\right]\cup \left[-2+{\sqrt {3}},+\infty \right[$.
4. $S=\left]-\infty ,-2-{\sqrt {3}}\right[\cup \left]-2+{\sqrt {3}},+\infty \right[$.
5. $S=\{-{\sqrt {2}}-3,-{\sqrt {2}}+3\}$.
6. $S=\{-4{\sqrt {2}},\,-2{\sqrt {2}}\}$.
7. $S=\left]3,\,13\right[$.
8. $S=\left[0,\,10\right]$.
9. $S=\{1{,}8,\,8{,}2\}$.

 

Exercice 2

1. Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation : $|x-3|=|x+1|$.

Solution

$|x-3|=|x+1|\Leftrightarrow x$ est équidistant de $3$ et $-1\Leftrightarrow x={\frac {3+(-1)}{2}}\Leftrightarrow x=1$.

 

2. Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'inéquation : $|2x-11|<|x-5|$.

Solution

Rappelons que $|A|<|B|$ est équivalent :

• si $B\geq 0$ : à $-B<A<B$ ;
• si $B<0$ : à $-B>A>B$.

Premier cas :

si $x-5\geq 0$ c'est-à-dire si $x\geq 5$, alors

${\begin{aligned}|2x-11|<|x-5|&\Leftrightarrow -(x-5)<2x-11<x-5\\&\Leftrightarrow -x+5<2x-11\quad {\text{et}}\quad 2x-11<x-5\\&\Leftrightarrow 16<3x\quad {\text{et}}\quad x<6\\&\Leftrightarrow {\frac {16}{3}}<x<6.\end{aligned}}$

Puisque $5<{\frac {16}{3}}<6$, on obtient un premier intervalle de solutions : $\left]{\frac {16}{3}},6\right[$.

Second cas : de même, si $x<5$, alors $|2x-11|<|x-5|\Leftrightarrow {\frac {16}{3}}>x\quad {\text{et}}\quad x>6$.

Ce deuxième cas n'admet pas de solution.

Finalement, $S=\left]{\frac {16}{3}},6\right[$.