Variable aléatoire discrète/Vocabulaire et notations

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Vocabulaire et notations
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Chapitre no 1
Leçon : Variable aléatoire discrète
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Définition d'une variable aléatoire

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Soit un univers   muni d'une probabilité  .

On appelle variable aléatoire toute application   de   dans   qui à chaque événement élémentaire   de   associe un nombre réel (que l'on pourra éventuellement noter  ).

L'ensemble des réels concernés est appelé univers image. Cet univers image sera noté soit   soit  .

 

Exemple.

On lance un dé.   est constitué des événements élémentaires suivants :

  • Le dé s'immobilise sur la face n° 1.
  • Le dé s'immobilise sur la face n° 2.
  • Le dé s'immobilise sur la face n° 3.
  • Le dé s'immobilise sur la face n° 4.
  • Le dé s'immobilise sur la face n° 5.
  • Le dé s'immobilise sur la face n° 6.


Sur cet univers  , on peut définir la variable aléatoire suivante :

À chaque événement élémentaire, on associe le nombre inscrit sur la face du dessus une fois le dé immobilisé.

Par exemple : à l'événement « Le dé s'immobilise sur la face n° 3 », on associe le nombre réel 3.

L'univers image sera alors :  .


On aurait pu définir d'autres variables aléatoires sur le même univers  .

Par exemple : Un joueur joue au dé. Il gagne 1 euro si le dé s'immobilise sur un nombre pair, et il perd 1 euro si le dé s'immobilise sur un nombre impair.

Dans ce cas, pour illustrer cette situation, on peut définir la variable aléatoire suivante :

À tout événement élémentaire (lancé de dé), on associe le nombre réel 1 si le dé s'immobilise sur un nombre pair et on associe le nombre -1 si le dé s'immobilise sur un nombre impair.

L'univers image est donc dans ce cas :  .


Définition d'une variable aléatoire discrète

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On dira qu'une variable aléatoire   est discrète si l'univers image est constitué de valeurs isolées. C'est le cas des deux exemples donnés dans le paragraphe précédent sur le lancé de dé.

Un exemple de variable aléatoire qui ne serait pas discrète (continue) serait par exemple la variable aléatoire qui à un tir de javelot associerait la distance à laquelle le javelot a été lancé.

Dans cette leçon, nous n'étudierons que les variables aléatoires discrètes. Les personnes intéressées par les variables aléatoires continues peuvent consulter la leçon Lois de probabilité continues.


Probabilité image d'une variable aléatoire discrète

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Soit   un univers sur lequel a été définie une probabilité   et soit  , une variable aléatoire dont l'univers image est  .

On peut définir une probabilité   sur l'univers image de la façon suivante :

À chaque nombre réel   de l'univers image  , on associe la probabilité de l'événement formé par l'ensemble des événements élémentaires auquel a été associé  .

De façon rigoureuse, on devrait noter ceci :

 

Symboliquement, pour simplifier l'écriture, l'ensemble des événements élémentaires auquel on aura associé   se notera :

 (au lieu de  )

On écrira donc de façon moins rigoureuse mais plus simple :

 

  est appelé probabilité image. Dans la pratique, on n'écrira plus   mais on écrira  .

La donnée de  , pour chaque valeur de  , définit la distribution de probabilité de  .

Si l'on reprend les deux exemples de variable aléatoire donnés dans le paragraphe précédent :


Dans le premier exemple, la probabilité image sera définie par :

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  


Dans le deuxième exemple, la probabilité image sera définie par :

  •  
  •  

Composée linéaire d'une variable aléatoire

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Produit d'une variable aléatoire par un réel

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Soit   une variable aléatoire définie sur un univers   et soit   un réel.

On peut alors définir une nouvelle variable aléatoire que l'on notera   en disant que l'image par   d'un événement élémentaire de   est le produit par   de l'image de cet événement élémentaire par  .

Si   est un événement élémentaire de   alors  .

Somme d'une variable aléatoire et d'un réel

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Soit   une variable aléatoire définie sur un univers   et soit   un réel.

On peut alors définir une nouvelle variable aléatoire que l'on notera   en disant que l'image par   d'un événement élémentaire de   est la somme de   à l'image de cet événement élémentaire par  .

Si   est un événement élémentaire de   alors  .

Distribution de probabilité de  

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Soit   une variable aléatoire définie sur un univers  . Soit   une variable aléatoire définie comme combinaison linéaire de   par :

Si   est un événement élémentaire de   alors  .

Soit alors   un réel de  .

On se propose de calculer  

En revenant à une notation plus rigoureuse, on a :

 

Nous retiendrons :

 

Carré d'une variable aléatoire

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Soit   une variable aléatoire définie sur un univers  . On définira le carré de la variable aléatoire  , que l'on notera   par :

Si   est un événement élémentaire de   alors  .

Cette notion nous permettra de définir la variance d'une variable aléatoire au chapitre suivant.