Variable aléatoire discrète/Vocabulaire et notations

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Définition d'une variable aléatoire

Soit un univers $\Omega$ muni d'une probabilité $p$.

On appelle variable aléatoire toute application $X$ de $\Omega$ dans $\mathbb {R}$ qui à chaque événement élémentaire $e$ de $\Omega$ associe un nombre réel (que l'on pourra éventuellement noter $X(e)$).

L'ensemble des réels concernés est appelé univers image. Cet univers image sera noté soit $\Omega '$ soit $X(\Omega )$.

Exemple. On lance un dé. $\Omega$ est constitué des événements élémentaires suivants : Le dé s'immobilise sur la face n° 1. Le dé s'immobilise sur la face n° 2. Le dé s'immobilise sur la face n° 3. Le dé s'immobilise sur la face n° 4. Le dé s'immobilise sur la face n° 5. Le dé s'immobilise sur la face n° 6. Sur cet univers $\Omega$, on peut définir la variable aléatoire suivante : À chaque événement élémentaire, on associe le nombre inscrit sur la face du dessus une fois le dé immobilisé. Par exemple : à l'événement « Le dé s'immobilise sur la face n° 3 », on associe le nombre réel 3. L'univers image sera alors : $\Omega '=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}$. On aurait pu définir d'autres variables aléatoires sur le même univers $\Omega$. Par exemple : Un joueur joue au dé. Il gagne 1 euro si le dé s'immobilise sur un nombre pair, et il perd 1 euro si le dé s'immobilise sur un nombre impair. Dans ce cas, pour illustrer cette situation, on peut définir la variable aléatoire suivante : À tout événement élémentaire (lancé de dé), on associe le nombre réel 1 si le dé s'immobilise sur un nombre pair et on associe le nombre -1 si le dé s'immobilise sur un nombre impair. L'univers image est donc dans ce cas : $\Omega '=\{1,\,-1\}$.

Définition d'une variable aléatoire discrète

On dira qu'une variable aléatoire $X$ est discrète si l'univers image est constitué de valeurs isolées. C'est le cas des deux exemples donnés dans le paragraphe précédent sur le lancé de dé.

Un exemple de variable aléatoire qui ne serait pas discrète (continue) serait par exemple la variable aléatoire qui à un tir de javelot associerait la distance à laquelle le javelot a été lancé.

Dans cette leçon, nous n'étudierons que les variables aléatoires discrètes. Les personnes intéressées par les variables aléatoires continues peuvent consulter la leçon Lois de probabilité continues.

Probabilité image d'une variable aléatoire discrète

Soit $\Omega$ un univers sur lequel a été définie une probabilité $p$ et soit $X$, une variable aléatoire dont l'univers image est $\Omega '$.

On peut définir une probabilité $p'$ sur l'univers image de la façon suivante :

À chaque nombre réel $\alpha$ de l'univers image $\Omega '$, on associe la probabilité de l'événement formé par l'ensemble des événements élémentaires auquel a été associé $\alpha$.

De façon rigoureuse, on devrait noter ceci :

$p'(\{\alpha \})=p(\{\mu \in \Omega /X(\mu )=\alpha \})$

Symboliquement, pour simplifier l'écriture, l'ensemble des événements élémentaires auquel on aura associé $\alpha$ se notera :

$X=\alpha \qquad \qquad$(au lieu de $\{\mu \in \Omega /X(\mu )=\alpha \}$)

On écrira donc de façon moins rigoureuse mais plus simple :

$p'(\{\alpha \})=p(X=\alpha )$

$p'$ est appelé probabilité image. Dans la pratique, on n'écrira plus $p'(\{\alpha \})$ mais on écrira $p(X=\alpha )$.

La donnée de $p(X=\alpha )$, pour chaque valeur de $\alpha$, définit la distribution de probabilité de $X$.

Si l'on reprend les deux exemples de variable aléatoire donnés dans le paragraphe précédent :

Dans le premier exemple, la probabilité image sera définie par :

• $p(X=1)={\frac {1}{6}}$
• $p(X=2)={\frac {1}{6}}$
• $p(X=3)={\frac {1}{6}}$
• $p(X=4)={\frac {1}{6}}$
• $p(X=5)={\frac {1}{6}}$
• $p(X=6)={\frac {1}{6}}$

Dans le deuxième exemple, la probabilité image sera définie par :

• $p(X=-1)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$
• $p(X=1)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$

Composée linéaire d'une variable aléatoire

Produit d'une variable aléatoire par un réel

Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un univers $\Omega$ et soit $a$ un réel.

On peut alors définir une nouvelle variable aléatoire que l'on notera $(aX)$ en disant que l'image par $(aX)$ d'un événement élémentaire de $\Omega$ est le produit par $a$ de l'image de cet événement élémentaire par $X$.

Si $e$ est un événement élémentaire de $\Omega$ alors $(aX)(e)=a.X(e)$.

Somme d'une variable aléatoire et d'un réel

Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un univers $\Omega$ et soit $b$ un réel.

On peut alors définir une nouvelle variable aléatoire que l'on notera $(X+b)$ en disant que l'image par $(X+b)$ d'un événement élémentaire de $\Omega$ est la somme de $b$ à l'image de cet événement élémentaire par $X$.

Si $e$ est un événement élémentaire de $\Omega$ alors $(X+b)(e)=X(e)+b$.

Distribution de probabilité de $(aX+b)$

Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un univers $\Omega$. Soit $(aX+b)$ une variable aléatoire définie comme combinaison linéaire de $X$ par :

Si $e$ est un événement élémentaire de $\Omega$ alors $(aX+b)(e)=a.X(e)+b$.

Soit alors $\alpha$ un réel de $(aX+b)(\Omega )$.

On se propose de calculer $p(aX+b=\alpha )$

En revenant à une notation plus rigoureuse, on a :

${\begin{aligned}p(aX+b=\alpha )&=p(\{e\in \Omega /(aX+b)(e)=\alpha \})\\&=p(\{e\in \Omega /a.X(e)+b=\alpha \})\\&=p(\{e\in \Omega /X(e)={\frac {\alpha -b}{a}}\})\\&=p\left(X={\frac {\alpha -b}{a}}\right)\end{aligned}}$

Nous retiendrons :

$p(aX+b=\alpha )=p\left(X={\frac {\alpha -b}{a}}\right)$

Carré d'une variable aléatoire

Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un univers $\Omega$. On définira le carré de la variable aléatoire $X$, que l'on notera $X^{2}$ par :

Si $e$ est un événement élémentaire de $\Omega$ alors $X^{2}(e)=[X(e)]^{2}$.

Cette notion nous permettra de définir la variance d'une variable aléatoire au chapitre suivant.