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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Variable aléatoire discrète : Espérance, variance et écart-type Variable aléatoire discrète/Espérance, variance et écart-type », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit
X
{\displaystyle X}
x
1
,
x
2
,
x
3
,
⋯
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,\cdots ,\,x_{n}}
On appelle espérance mathématique, l'expression :
E
(
X
)
=
x
1
×
p
(
X
=
x
1
)
+
x
2
×
p
(
X
=
x
2
)
+
⋯
+
x
n
×
p
(
X
=
x
n
)
{\displaystyle E(X)=x_{1}\times p(X=x_{1})+x_{2}\times p(X=x_{2})+\cdots +x_{n}\times p(X=x_{n})}
ou
E
(
X
)
=
∑
k
=
1
n
x
k
×
p
(
X
=
x
k
)
{\displaystyle E(X)=\sum _{k=1}^{n}{x_{k}\times p(X=x_{k})}}
Concrètement, l'espérance mathématique est la valeur de la variable aléatoire que l'on peut espérer avoir en moyenne si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois.
Par exemple, si on reprend la variable aléatoire qui, à tout lancé de dé, associe la valeur qui apparaît sur le dé une fois celui-ci immobilisé. Nous avions vu au chapitre précédent que :
p
(
X
=
1
)
=
1
6
{\displaystyle p(X=1)={\frac {1}{6}}}
p
(
X
=
2
)
=
1
6
{\displaystyle p(X=2)={\frac {1}{6}}}
p
(
X
=
3
)
=
1
6
{\displaystyle p(X=3)={\frac {1}{6}}}
p
(
X
=
4
)
=
1
6
{\displaystyle p(X=4)={\frac {1}{6}}}
p
(
X
=
5
)
=
1
6
{\displaystyle p(X=5)={\frac {1}{6}}}
p
(
X
=
6
)
=
1
6
{\displaystyle p(X=6)={\frac {1}{6}}}
L'espérance mathématique sera alors :
E
(
X
)
=
1
×
p
(
X
=
1
)
+
2
×
p
(
X
=
2
)
+
3
×
p
(
X
=
3
)
+
4
×
p
(
X
=
4
)
+
5
×
p
(
X
=
5
)
+
6
×
p
(
X
=
6
)
=
1
×
1
6
+
2
×
1
6
+
3
×
1
6
+
4
×
1
6
+
5
×
1
6
+
6
×
1
6
=
21
6
=
3
,
5
{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=1\times p(X=1)+2\times p(X=2)+3\times p(X=3)+4\times p(X=4)+5\times p(X=5)+6\times p(X=6)\\&=1\times {\frac {1}{6}}+2\times {\frac {1}{6}}+3\times {\frac {1}{6}}+4\times {\frac {1}{6}}+5\times {\frac {1}{6}}+6\times {\frac {1}{6}}\\&={\frac {21}{6}}\\&=3,5\end{aligned}}}
Si on lance le dé un très grand nombre de fois et que l'on fait la moyenne des valeurs obtenues, on trouvera une valeur proche de 3,5.
modifier
Soit
X
{\displaystyle X}
Ω
{\displaystyle \Omega }
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
E
(
a
X
+
b
)
=
a
E
(
X
)
+
b
{\displaystyle E(aX+b)=aE(X)+b}
'Démonstration'
Supposons
Ω
(
a
X
+
b
)
=
{
x
1
,
x
2
,
x
3
,
⋯
,
x
n
}
{\displaystyle \Omega (aX+b)=\{x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,\cdots ,\,x_{n}\}}
Par définition, nous avons :
E
(
a
X
+
b
)
=
x
1
.
p
(
a
X
+
b
=
x
1
)
+
x
2
.
p
(
a
X
+
b
=
x
2
)
+
⋯
+
x
n
.
p
(
a
X
+
b
=
x
n
)
=
x
1
.
p
(
X
=
x
1
−
b
a
)
+
x
2
.
p
(
X
=
x
2
−
b
a
)
+
⋯
+
x
n
.
p
(
X
=
x
n
−
b
a
)
=
(
x
1
−
b
)
.
p
(
X
=
x
1
−
b
a
)
+
(
x
2
−
b
)
.
p
(
X
=
x
2
−
b
a
)
+
⋯
+
(
x
n
−
b
)
.
p
(
X
=
x
n
−
b
a
)
+
b
[
p
(
X
=
x
1
−
b
a
)
+
p
(
X
=
x
2
−
b
a
)
+
⋯
+
p
(
X
=
x
n
−
b
a
)
]
=
a
[
x
1
−
b
a
.
p
(
X
=
x
1
−
b
a
)
+
x
2
−
b
a
.
p
(
X
=
x
2
−
b
a
)
+
⋯
+
x
n
−
b
a
.
p
(
X
=
x
n
−
b
a
)
]
+
b
×
1
=
a
.
E
(
X
)
+
b
{\displaystyle {\begin{aligned}E(aX+b)&=x_{1}.p(aX+b=x_{1})+x_{2}.p(aX+b=x_{2})+\cdots +x_{n}.p(aX+b=x_{n})\\&=x_{1}.p\left(X={\frac {x_{1}-b}{a}}\right)+x_{2}.p\left(X={\frac {x_{2}-b}{a}}\right)+\cdots +x_{n}.p\left(X={\frac {x_{n}-b}{a}}\right)\\&=(x_{1}-b).p\left(X={\frac {x_{1}-b}{a}}\right)+(x_{2}-b).p\left(X={\frac {x_{2}-b}{a}}\right)+\cdots +(x_{n}-b).p\left(X={\frac {x_{n}-b}{a}}\right)+b\left[p\left(X={\frac {x_{1}-b}{a}}\right)+p\left(X={\frac {x_{2}-b}{a}}\right)+\cdots +p\left(X={\frac {x_{n}-b}{a}}\right)\right]\\&=a\left[{\frac {x_{1}-b}{a}}.p\left(X={\frac {x_{1}-b}{a}}\right)+{\frac {x_{2}-b}{a}}.p\left(X={\frac {x_{2}-b}{a}}\right)+\cdots +{\frac {x_{n}-b}{a}}.p\left(X={\frac {x_{n}-b}{a}}\right)\right]+b\times 1\\&=a.E(X)+b\end{aligned}}}
La variance est une grandeur permettant d'apprécier comment varie une variable aléatoire. En statistique la variance est la moyenne des écarts par rapport à la moyenne. Intuitivement, nous définirons donc la variance d'une variable aléatoire comme l'espérance mathématique du carré de l'écart par rapport à l'espérance mathématique de cette variable.
La variance
V
(
X
)
{\displaystyle V(X)}
V
(
X
)
=
E
[
(
X
−
E
[
X
]
)
2
]
{\displaystyle V(X)=E[(X-E[X])^{2}]}
X
{\displaystyle X}
V
(
X
)
=
(
x
1
−
E
(
X
)
)
2
×
p
(
X
=
x
1
)
+
(
x
2
−
E
(
X
)
)
2
×
p
(
X
=
x
2
)
+
⋯
+
(
x
n
−
E
(
X
)
)
2
×
p
(
X
=
x
n
)
{\displaystyle V(X)=(x_{1}-E(X))^{2}\times p(X=x_{1})+(x_{2}-E(X))^{2}\times p(X=x_{2})+\cdots +(x_{n}-E(X))^{2}\times p(X=x_{n})}
ou
V
(
X
)
=
∑
k
=
1
n
(
x
k
−
E
(
X
)
)
2
×
p
(
X
=
x
k
)
{\displaystyle V(X)=\sum _{k=1}^{n}{(x_{k}-E(X))^{2}\times p(X=x_{k})}}
Soit
X
{\displaystyle X}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
V
(
a
X
+
b
)
=
a
2
V
(
X
)
{\displaystyle V(aX+b)=a^{2}V(X)}
'Démonstration'
V
(
a
X
)
=
E
[
(
a
.
X
−
E
(
a
.
X
)
)
2
]
=
E
[
(
a
.
X
−
a
.
E
(
X
)
)
2
]
=
E
[
a
2
×
(
X
−
E
(
X
)
)
2
]
=
a
2
×
E
[
(
X
−
E
(
X
)
)
2
]
=
a
2
.
V
(
X
)
{\displaystyle {\begin{aligned}V(aX)&=E\left[(a.X-E(a.X))^{2}\right]\\&=E\left[(a.X-a.E(X))^{2}\right]\\&=E\left[a^{2}\times (X-E(X))^{2}\right]\\&=a^{2}\times E\left[(X-E(X))^{2}\right]\\&=a^{2}.V(X)\end{aligned}}}
Soit
X
{\displaystyle X}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
σ
(
a
X
+
b
)
=
|
a
|
σ
(
X
)
{\displaystyle \sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)}
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(aX+b)&=x_{1}.p(aX+b=x_{1})+x_{2}.p(aX+b=x_{2})+\cdots +x_{n}.p(aX+b=x_{n})\\&=x_{1}.p\left(X={\frac {x_{1}-b}{a}}\right)+x_{2}.p\left(X={\frac {x_{2}-b}{a}}\right)+\cdots +x_{n}.p\left(X={\frac {x_{n}-b}{a}}\right)\\&=(x_{1}-b).p\left(X={\frac {x_{1}-b}{a}}\right)+(x_{2}-b).p\left(X={\frac {x_{2}-b}{a}}\right)+\cdots +(x_{n}-b).p\left(X={\frac {x_{n}-b}{a}}\right)+b\left[p\left(X={\frac {x_{1}-b}{a}}\right)+p\left(X={\frac {x_{2}-b}{a}}\right)+\cdots +p\left(X={\frac {x_{n}-b}{a}}\right)\right]\\&=a\left[{\frac {x_{1}-b}{a}}.p\left(X={\frac {x_{1}-b}{a}}\right)+{\frac {x_{2}-b}{a}}.p\left(X={\frac {x_{2}-b}{a}}\right)+\cdots +{\frac {x_{n}-b}{a}}.p\left(X={\frac {x_{n}-b}{a}}\right)\right]+b\times 1\\&=a.E(X)+b\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45a15e0730fe0cb172caa04168211a7d39c57c4)
![{\displaystyle V(X)=E[(X-E[X])^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ff0732effb4f35e389b9898c2e940cfbcd2c18c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(aX)&=E\left[(a.X-E(a.X))^{2}\right]\\&=E\left[(a.X-a.E(X))^{2}\right]\\&=E\left[a^{2}\times (X-E(X))^{2}\right]\\&=a^{2}\times E\left[(X-E(X))^{2}\right]\\&=a^{2}.V(X)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc5c7aecb45ae35019d5271686eb493474e30ef)
