Variables aléatoires continues/Exercices/Situation faisant intervenir une loi normale

Exercice 1-1

Une entreprise fabrique en série des petites boîtes en matières plastiques dont la longueur doit être de 2,5 cm.

Les boîtes effectivement fabriquées ont une longueur moyenne de 2,5 cm, dispersée autour de cette moyenne d'un écart-type de 0,2 cm.

On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la longueur d'une boîte.

En considérant que l'imprécision sur la longueur d'une boîte dépend de nombreux facteurs indépendants les uns des autres (petites variations des propriétés de la matière plastique utilisée, usure et réglage de la machine, expérience et compétence de l'opérateur, etc), on peut admettre que X suit une loi normale.

1. On admet que X suit une loi normale de moyenne 2,5 cm et d'écart-type 0,2 cm. Calculer la probabilité qu'une boîte choisie au hasard dans la production, ait une hauteur inférieure à 2,25 cm.
2. Calculer la probabilité qu'une boîte choisie au hasard dans la production, ait une hauteur qui s'écarte de moins de 0,25 cm de la moyenne.
3. On considère une boîte comme défectueuse si sa hauteur s'écarte de plus de 10 % par rapport à la moyenne. Dans ce cas, la boîte doit être jetée. Calculer le pourcentage de pièces défectueuses dans la production.
4. Pour rentabiliser cette production, un gestionnaire considère qu’il ne faudrait jeter que 5 % de la production. Quelle tolérance sur la hauteur des boîtes l'ingénieur responsable de la production doit-il retenir ?

Solution

$Y:={\frac {X-2{,}5}{0{,}2}}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$

1. $\mathbb {P} (X\leq 2{,}25)=\mathbb {P} (Y\leq -1{,}25)=1-\mathbb {P} (Y\leq 1{,}25)=$ (d'après la table) $1-0{,}89435=0{,}10565$.
2. $\mathbb {P} (|X-2{,}5|\leq 0{,}25)=\mathbb {P} (|Y|\leq 1{,}25)=2\mathbb {P} (Y\leq 1{,}25)-1=2\times 0{,}89435-1=0{,}7887$.
3. $\mathbb {P} (|X-2{,}5|>0{,}25)=1-0{,}7887=0{,}2113\approx$ 21 %.
4. $0{,}05\geq \mathbb {P} (|X-2{,}5|>t)=\mathbb {P} (|Y|>5t)=2\left(1-\mathbb {P} (Y\leq 5t)\right)\Leftrightarrow \mathbb {P} (Y\leq 5t)\leq 1-0{,}025=0{,}975\Leftrightarrow 5t\leq 1{,}96\Leftrightarrow t\leq 0{,}392$ cm, soit environ 16 % de la moyenne.

 

Exercice 1-2

Soient $X,Y$ des variables aléatoires réelles (v.a.r.) indépendantes de même loi $\mathrm {d} \mu (x)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\operatorname {e} ^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} \lambda (x)$ (dite « loi normale réduite »). Déterminer la loi de la v.a.r. $X/Y$ (en explicitant une densité).

Solution

$\mu _{2}([X/Y\leq t])={1 \over 2\pi }\int _{x/y\leq t}\operatorname {e} ^{-(x^{2}+y^{2})/2}\,\mathrm {d} \lambda _{2}(x,y)=$

${1 \over 2\pi }\int _{\cot \theta \leq t,\theta \in [0,2\pi ],r\in [0,+\infty [}\operatorname {e} ^{-r^{2}/2}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta ={1 \over 2\pi }\int _{\cot \theta \leq t,\theta \in [0,2\pi ]}d\theta ={\pi -\operatorname {arccot} t \over \pi }=\int _{-\infty }^{t}{dt \over \pi (1+t^{2})}$.

Variante (en choisissant plutôt $x=r\sin \theta ,y=r\cos \theta$) :

${1 \over 2\pi }\int _{\tan \theta \leq t,\theta \in [-\pi /2,3\pi /2],r\in [0,+\infty [}\operatorname {e} ^{-r^{2}/2}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta ={1 \over 2\pi }\int _{\tan \theta \leq t,\theta \in [-\pi /2,3\pi /2]}\,\mathrm {d} \theta ={\arctan t+\pi /2 \over \pi }=$

$\int _{-\infty }^{t}{\mathrm {d} t \over \pi (1+t^{2})}$. Remarque : on a bien $\mu _{Z}(\mathbb {R} )=1$ et $\mu _{Z}(\varnothing )=0$.