Variables aléatoires continues/Loi normale

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Loi normale
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Chapitre no 3
Leçon : Variables aléatoires continues
Chap. préc. :Loi uniforme
Chap. suiv. :Loi exponentielle
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PrésentationModifier

La loi normale est la loi de probabilité continue la plus connue. Nous avons amorcé son étude au niveau 13, au chapitre 4 de la leçon sur les lois de probabilité continues.

On la retrouve dans de nombreuses situations concrètes, et aussi dans de nombreux résultats théoriques.

Sa densité de probabilité est la célèbre « courbe en cloche » de Gauss.

DéfinitionModifier

La loi normale est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.

On la définit au moyen d'une densité de probabilité (voir chap. 1) :



Courbes en clocheModifier

 
Exemples de densités gaussiennes pour différentes valeurs des paramètres.

On observe la forme « en cloche », que l’on peut observer en statistiques quand on construit l'histogramme d'un caractère dépendant d'un grand nombre de données :

  • la taille d'un individu (dépend de la taille de ses parents, de son alimentation, de son mode de vie…) ;
  • la conformité d'une pièce technologique ;
  • etc.

Loi normale centrée réduiteModifier


Un simple changement de variable dans le calcul de la fonction de répartition montre que :

MomentsModifier

Fonction génératrice des momentsModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème



Espérance et formule de récurrenceModifier


Variance et autres moments centrésModifier

Si   alors  . Par conséquent :



Cette valeur est significative : si   alors  .

Souvent, on normalise le kurtosis d'une loi en lui soustrayant 3.

Table de probabilitéModifier

Dans les applications calculatoires, on se ramène à la table de probabilité de la loi normale centrée réduite.

Dans ce tableau, pour  , on donne   pour  .

L'entrée en lignes représente les chiffres des unités et des dixièmes de   et l'entrée en colonnes représente le chiffre des centièmes de  .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple