Variables aléatoires continues/Loi de Cauchy
Présentation
modifierLa loi de Cauchy, ou loi de Lorentz, est un exemple simple de loi n'admettant pas d'espérance, ni de moment d'ordre supérieur.
Définition
modifierLa loi de Cauchy est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.
On la définit au moyen d'une densité de probabilité (voir le chapitre 1).
La densité de probabilité d'une variable aléatoire continue suivant une loi de Cauchy est :
- .
La courbe est symétrique par rapport à la droite (paramètre de location) et représente l'étalement de la courbe (paramètre d'échelle).
Fonctions de densité
modifierLa fonction de densité d'une loi de Cauchy rappelle celle d'une loi normale, à savoir une forme de cloche, mais avec un étalement plus large.
Moments et médiane
modifierMoments
modifierdonc, par le critère de Riemann, .
De même, une simple étude à l'infini montre que toute intégrale du genre diverge, toujours par le critère de Riemann :
.
En particulier, une loi de Cauchy n'admet aucune espérance formellement. Toutefois :
donc
- , ce qui laisse penser à une espérance, et le paramètre est souvent considéré comme tel.
Médiane
modifierToutefois, ce paramètre a une autre propriété qui doit être retenue :
- .