Variables aléatoires continues/Loi exponentielle

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Présentation

La loi exponentielle décrit la durée de vie d'un phénomène sans vieillissement (particule radioactive, temps d'attente, ...).

Définition

La loi exponentielle est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.

On la définit au moyen d'une densité de probabilité (voir le chapitre 1).

Définition

La densité de probabilité d'une variable aléatoire continue suivant une loi exponentielle ${\mathcal {E}}(\lambda )$ est :

$f(x)=\lambda \exp(-\lambda x)\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(x)$, où $\lambda$ est un nombre réel strictement positif.

Densité

Densité de probabilité de diverses lois exponentielles.

La fonction de densité d'une loi exponentielle est une exponentielle décroissante, qui tend d'autant plus vite vers 0 que son paramètre $\lambda$ est grand.

Fonction de répartition

Début d’un théorème

Théorème

La fonction de répartition d'une variable aléatoire continue $X$ suivant une loi exponentielle ${\mathcal {E}}(\lambda )$ est :

$F(x)={\begin{cases}1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}&{\text{si }}x\geq 0\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}$

Fin du théorème

Démonstration

$\forall x\geq 0\quad F(x)=\mathbb {P} (X\leq x)=\int _{0}^{x}\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t=\mathrm {e} ^{-\lambda 0}-\mathrm {e} ^{-\lambda x}$ et

$\forall x<0\quad F(x)=0$.

 

Moments

Fonction génératrice des moments

Début d’un théorème

Théorème

La fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire continue $X$ suivant une loi exponentielle ${\mathcal {E}}(\lambda )$ est :

$M_{X}(t)={\frac {\lambda }{\lambda -t}}$.

Fin du théorème

Démonstration

$M_{X}(t)=\mathbb {E} \left(\mathrm {e} ^{tX}\right)=\int _{0}^{+\infty }\exp(tx)\lambda \exp(-\lambda x)\,\mathrm {d} x=\lambda \int _{0}^{+\infty }\exp[(t-\lambda )x]\,\mathrm {d} x={\frac {\lambda }{\lambda -t}}$.

 

Corollaire

Le moment d'ordre $k$ d'une variable aléatoire continue $X$ suivant une loi exponentielle ${\mathcal {E}}(\lambda )$ est :

$\mathbb {E} \left(X^{k}\right)={\frac {k!}{\lambda ^{k}}}$.

Démonstration

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}\mathbb {E} \left(X^{k}\right)=M_{X}(t)={\frac {\lambda }{\lambda -t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{\lambda ^{k}}}$.

 

Espérance

Début d’un théorème

Théorème

L'espérance d'une variable aléatoire continue $X$ suivant une loi exponentielle ${\mathcal {E}}(\lambda )$ est :

$\mathbb {E} (X)={\frac {1}{\lambda }}$.

Fin du théorème

Démonstration

$\mathbb {E} (X^{1})={\frac {1!}{\lambda ^{1}}}$.

 

Variance et écart-type

Début d’un théorème

Théorème

La variance d'une variable aléatoire continue $X$ suivant une loi exponentielle ${\mathcal {E}}(\lambda )$ est :

$\mathrm {V} (X)={\frac {1}{\lambda ^{2}}}$

donc son écart-type est ${\frac {1}{\lambda }}$.

Fin du théorème

Démonstration

$\mathbb {E} (X^{2})={\frac {2!}{\lambda ^{2}}}$, d'où $\mathrm {V} (X)=\mathbb {E} (X^{2})-\mathbb {E} (X)^{2}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}$.

 

Absence de mémoire

Le fait qu'une durée de vie sans vieillissement (la durée de vie au-delà d'un instant T ne dépend pas de T) peut se traduire par :

$\forall (t_{1},t_{2})\in (\mathbb {R} _{+}^{*})^{2}\quad \mathbb {P} (X>t_{1}+t_{2}\mid X>t_{1})=\mathbb {P} (X>t_{2})$,

c'est-à-dire

${\frac {\mathbb {P} (X>t_{1}+t_{2})}{\mathbb {P} (X>t_{1})}}=\mathbb {P} (X>t_{2})$,

ou encore, en notant $F(t)=\mathbb {P} (X>t)$ :

$F(t_{1}+t_{2})=F(t_{1})F(t_{2})$.

On reconnait alors la propriété algébrique des fonctions exponentielles. Ainsi, il existe $\alpha \in \mathbb {R}$ tel que $F(t)=\mathrm {e} ^{\alpha t}$, et puisque F est croissante, $\alpha >0$.

On reconnait ainsi la fonction de répartition d'une loi exponentielle. Réciproquement, on retrouve, à partir de la fonction de répartition d'une loi exponentielle, la propriété d'une durée de vie sans vieillissement.

On a ainsi prouvé :

Propriété d'absence de mémoire

Une variable aléatoire réelle $X$ suit une loi exponentielle si et seulement si :

$\forall (t_{1},t_{2})\in (\mathbb {R} _{+}^{*})^{2}\quad \mathbb {P} (X>t_{1}+t_{2}\mid X>t_{1})=\mathbb {P} (X>t_{2})$.