Variables aléatoires discrètes/Définitions
Variables aléatoires
modifierUne variable aléatoire discrète X est une fonction qui associe
à chaque résultat d'une expérience aléatoire un nombre entier naturel k. On note :
Exemples
modifier- Les variables aléatoires discrètes sont souvent utilisées pour quantifier le "nombre de fois" qu'un évènement se produit, quand celui-ci est soumis au hasard.
- Par exemple, après n lancers successifs d'un dé, on peut noter le nombre de fois où l’on a obtenu 6. est alors une variable aléatoire discrète.
- On peut aussi définir dans le même contexte la variable aléatoire discrète Y donnant le numéro du lancer qui a donné 6 pour la première fois.
Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète
modifierSi X est une variable aléatoire discrète, on donne la loi de probabilité de X en donnant une suite où
Exemple
modifierAprès n lancers successifs d'un dé équilibré, notons X la variable aléatoire discrète donnant le numéro du lancer qui a donné 6 pour la première fois. Si on a obtenu 6 pour la première fois au k-ième lancer, cela signifie que l’on a obtenu un des résultats 1, 2, 3, 4, 5 k-1 fois auparavant, avec une probabilité de à chaque fois. d'où :
Espérance d'une variable aléatoire discrète
modifierEn étendant la définition de l'espérance sur les ensembles finis, on a la formule suivante pour une variable aléatoire discrète X de loi de probabilité :
- L'espérance de X représente ce que X vaut en moyenne, si on recommence l'expérience un grand nombre de fois.
- Il faut remarquer que la somme infinie qui définit l'espérance pourrait fort bien ne pas converger (voir Série numérique). Cette difficulté technique ne sera pas développée ici ; on ne traitera dans les exercices que des exemples où la convergence (absolu) est assurée.
Exemple
modifierAprès n lancers successifs d'un dé équilibré, si Y est la variable aléatoire discrète donnant le numéro du lancer qui a donné 6 pour la première fois.
On a vu que : Donc :
En utilisant la formule :
et en dérivant membre à membre (on ne posera pas ici la question de savoir si on a le droit de le faire, voir Série entière), on obtient :
donc en prenant et en remplaçant dans notre calcul :
Ce résultat signifie qu'en moyenne, on obtiendra le premier 6 après 6 lancers.
Variance d'une variable aléatoire discrète
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- La variance de X représente la moyenne des carrés des écarts à l'espérance de X.
- Elle mesure la tendance de X à la dispersion autour de son espérance, de manière similaire à la variance d'une série statistique.
- Là encore, on ne s'inquiétera pas de la convergence de cette série.
Formule
modifierExemple
modifierCalculer la variance de la v.a.d Y de l'exemple précédent.
Écart-type
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- L'écart-type mesure également la tendance à la dispersion de la v.a, et ce dans les mêmes unités que celle des (si les sont des euros, est en euros).
- On pourrait alors se demander quel est l’intérêt de la variance, puisqu'elle n’est pas exprimée dans la même unité que les ...
- Une réponse à cette question est que la variance est beaucoup plus facile à manier dans les exposés théoriques grâce à l'absence de racine carrée.