Variables aléatoires discrètes/Loi géométrique

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Définition

Définition

Une variable aléatoire discrète suit une loi géométrique si :

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \mathbb {P} (X=n)=p(1-p)^{n-1}$

où $p$ est un nombre réel compris entre 0 et 1 appelé paramètre de la loi.

On note cette loi ${\mathcal {G}}(p)$.

Remarquons que ceci définit bien une loi de probabilités sur $\mathbb {N} ^{*}$ :

$\sum _{n=1}^{+\infty }\mathbb {P} (X=n)=p\sum _{n=1}^{+\infty }(1-p)^{n-1}={\frac {p}{1-(1-p)}}=1$.

Moments

Espérance

Début d’un théorème

Théorème

L'espérance d'une loi géométrique est ${\frac {1}{p}}$.

Fin du théorème

​

Démonstration

On utilise les développements en série entière :

$\forall x\in ]-1;1[\,f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}\Longrightarrow f'(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }nx^{n-1}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}$

D'où :

$\mathbb {E} (X)=p\sum _{n=1}^{+\infty }n(1-p)^{n-1}=p\sum _{n=0}^{+\infty }(n+1)(1-p)^{n}={\frac {p}{p^{2}}}$

 

Variance

Début d’un théorème

Théorème

• La variance d'une loi géométrique est ${\frac {1-p}{p^{2}}}$.
• Son écart type est donc ${\frac {\sqrt {1-p}}{p}}$

Fin du théorème

​

Démonstration

Comme pour le calcul de l'espérance :

$\forall x\in ]-1;1[\,f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}\Longrightarrow f'(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }nx^{n-1}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}\Longrightarrow f''(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }n^{2}x^{n-1}+\sum _{n=1}^{+\infty }nx^{n-1}={\frac {2}{(1-x)^{3}}}$

D'où :

$V(X)=p\sum _{n=1}^{+\infty }n^{2}(1-p)^{n-1}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {2p}{p^{3}}}-{\frac {p}{p^{2}}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}$

 

Applications de la loi géométrique

Épreuves de Bernoulli

L'illustration la plus classique de la loi géométrique se déduit d'épreuves de Bernoulli : en effet, la loi géométrique est en fait la loi de la variable aléatoire "Lors d'une succession d'épreuves de Bernoulli, le premier succès est au n^e essai". On compte ainsi n-1 échecs avant le succès.