Variables aléatoires discrètes/Loi binomiale

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Définition

Rappel (cf. prérequis) :

Définition

Soient $p$ un nombre réel compris entre 0 et 1 et $n$ un entier positif.

Une variable aléatoire discrète X suit une loi binomiale de paramètre $(n,p)$ si :

$\forall k\in [0,n]\quad \mathbb {P} (X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$.

On note cette loi ${\mathcal {B}}(n,p)$.

Remarquons que ceci définit bien une loi de probabilités sur $[0,n]$ :

$\sum _{k=0}^{n}\mathbb {P} (X=k)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=\left(p+(1-p)\right)^{n}=1$

d'après la formule du binôme.

Moments

Espérance

Début d’un théorème

Théorème

L'espérance d'une loi binomiale est $np$.

Fin du théorème

Démonstration

En utilisant la propriété :

$X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {B}}(p)\Rightarrow X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}\sim {\mathcal {B}}(n,p)$,

on a, par linéarité :

$\mathbb {E} (X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n})=n\mathbb {E} (X_{1})=np$.

 

Variance

Début d’un théorème

Théorème

• La variance d'une loi binomiale est $np(1-p)$.
• Son écart type est donc ${\sqrt {np(1-p)}}$.

Fin du théorème

Démonstration

En utilisant la propriété :

$X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {B}}(p)\Rightarrow X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}\sim {\mathcal {B}}(n,p)$,

on a, grâce à l'indépendance des variables :

$V(X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n})=nV(X_{1})=np(1-p)$.

 

Épreuves de Bernoulli

L'illustration la plus classique de la loi binomiale se déduit d'épreuves de Bernoulli : en effet, si $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ sont n variables aléatoires indépendantes de même loi, la loi de Bernoulli de paramètre p, alors leur somme $S=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}$ suit une loi binomiale de paramètres n et p.

En effet, si $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ suivent une loi de Bernoulli, elles prennent toutes pour valeurs 0 ou 1, donc leur somme S prend des valeurs entre 0 et n.
Ensuite, il faut calculer $\mathbb {P} (S=k)$, soit, parmi les n variables, la probabilité que k d'entre elles valent 1. Connaissant le paramètre p, on déduit la valeur recherchée.

Loi binomiale négative

La loi binomiale négative s'inspire de la définition de la loi binomiale, mais s'intéresse aux nombres d'échecs :

On réalise des tirages indépendants d'une loi de Bernoulli de paramètre p jusqu'à obtenir n succès. Le nombre d'échecs obtenus est une variable aléatoire suivant une loi binomiale négative.

Loi binomiale négative

Une variable aléatoire discrète X suit une loi binomiale négative si :

$\forall k\in \mathbb {N} \ \ \mathbb {P} (X=k)={\binom {k+n-1}{k}}p^{n}(1-p)^{k}$

où $p$ est un nombre réel compris entre 0 et 1 appelé paramètre de la loi, et n un entier positif.

On note cette loi ${\mathcal {NB}}(n,p)$.

Le nom de loi binomiale négative vient du fait qu'on peut également écrire la probabilité en utilisant les coefficients binomiaux généralisés aux entiers négatifs :

$\forall k\in \mathbb {N} \ \ \mathbb {P} (X=k)={\binom {-n}{k}}p^{n}(-(1-p))^{k}$.