Variables aléatoires sur les ensembles finis/Espérance et variance d'une variable aléatoire

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Notation

Pour simplifier l'exposé des formules, nous utiliserons la notation $\sum$ pour signifier la somme sur toutes les valeurs prises par une variable aléatoire (v.a).

Par exemple : $x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots +x_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

Espérance d'une variable aléatoire

Définition

Soit X une v.a dont les valeurs sont les $x_{i}$ (i variant de 1 à n). Soit $p_{i}$ la probabilité que X prenne la valeur $x_{i}$.

L'espérance de X se calcule ainsi :

$E(X)=p_{1}\times x_{1}+p_{2}\times x_{2}+p_{3}\times x_{3}+\ldots +p_{n}\times x_{n}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\times x_{i}$

L'espérance de X représente ce que X vaut en moyenne, si on recommence l'expérience un grand nombre de fois. Cette remarque est justifiée par le fait que les fréquences des $x_{i}$ tendront alors vers les $p_{i}$ et que le calcul de E(X) est alors exactement celui d'une moyenne avec fréquences (voir Initiation à la statistique).

Exemple

Reprenons l'exemple du lancer de deux dés, où X représente la somme des deux résultats. La loi de probabilité de X s'écrit :

$x_{i}$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$p_{i}$	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

On calcule alors $E(X)=2\times {\frac {1}{36}}+3\times {\frac {2}{36}}+\ldots +12\times {\frac {1}{36}}=7$.

Ce résultat signifie que si on répète cette expérience un grand nombre de fois, la somme des deux dés est en moyenne de 7.

Variance d'une variable aléatoire

Définition

Soit X une v.a dont les valeurs sont les $x_{i}$ (i variant de 1 à n).

Soit $p_{i}$ la probabilité que X prenne la valeur $x_{i}$. Soit E(X) l'espérance de X

La variance de X se calcule ainsi :

$V(X)=p_{1}\times (x_{1}-E(X))^{2}+p_{2}\times (x_{2}-E(X))^{2}+p_{3}\times (x_{3}-E(X))^{2}+\ldots +p_{n}\times (x_{n}-E(X))^{2}$

$V(X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\times (x_{i}-E(X))^{2}$

La variance de X représente la moyenne des carrés des écarts à l'espérance de X.

Elle mesure la tendance de X à la dispersion autour de son espérance,

de manière similaire à la variance d'une série statistique.

Exemple

Reprenons l'exemple du lancer de deux dés, où X représente la somme des deux résultats.

On calcule alors $V(X)={\frac {1}{36}}\times (2-7)^{2}+{\frac {2}{36}}\times (3-7)^{2}+\ldots +{\frac {1}{36}}(12-7)^{2}=5,833$

Formule

La formule de la variance ci-dessus est utile pour comprendre la signification de ce nombre,

mais la formule suivante est plus intéressante pour le calcul effectif :

Début d’un théorème

Théorème

$V(X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\times x_{i}^{2}-E(X)^{2}$.

Fin du théorème

Démonstration

Notons $m=E(X)$.

$V(x)=\sum p_{i}(x_{i}-m)^{2}=\sum p_{i}x_{i}^{2}-2m\sum p_{i}x_{i}+m^{2}\sum p_{i}=\sum p_{i}x_{i}^{2}-2m^{2}+m^{2}1=\sum p_{i}x_{i}^{2}-m^{2}$.

 

Exemple

Calculer la variance de X dans l'exemple de la somme des résultats du lancer de deux dés.

Écart-type

Définition

L'écart-type d'une variable aléatoire X est la racine carrée de sa variance :

$\sigma (X)={\sqrt {V(X)}}$

L'écart-type mesure également la tendance à la dispersion de la v.a, et ce dans les mêmes unités que celle des $x_{i}$ (si les $x_{i}$ sont des euros, $\sigma$ est en euros). On pourrait alors se demander quel est l’intérêt de la variance, puisqu'elle n’est pas exprimée dans la même unité que les $x_{i}$ ... Une réponse à cette question est que la variance est beaucoup plus facile à manier dans les exposés théoriques grâce à l'absence de racine carrée.