Variables aléatoires sur les ensembles finis/Propriétés de l'espérance et de la variance

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Début d’un théorème

Théorème

Soient X et Y deux variables aléatoires, chacune à valeurs dans un ensemble fini de nombres. Soit $a$ un nombre quelconque, alors :

$E(X+aY)=E(X)+aE(Y)$.

Fin du théorème

Démonstration

Soit $p_{i,j}$ la probabilité que (X, Y) prenne la valeur $(x_{i},y_{j})$. Alors, la probabilité que X prenne la valeur $x_{i}$ est $q_{i}=\sum _{j}p_{i,j}$ et la probabilité que Y prenne la valeur $y_{j}$ est $r_{j}=\sum _{i}p_{i,j}$, donc

$E(X+aY)=\sum _{i,j}p_{i,j}(x_{i}+ay_{j})=\sum _{i,j}p_{i,j}x_{i}+a\sum _{i,j}p_{i,j}y_{j}=\sum _{i}q_{i}x_{i}+a\sum _{j}r_{j}y_{j}=E(X)+aE(Y)$.

 

Corollaire

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini de nombres. Soit $a$ un nombre quelconque, alors :

$V(aX)=a^{2}V(X)$.

Démonstration

$V(aX)=E\left((aX)^{2}\right)-\left(E(aX)\right)^{2}=a^{2}E(X^{2})-a^{2}\left(E(X)\right)^{2}=a^{2}V(X)$.