Variables aléatoires sur les ensembles finis/Exercices/Somme de variables aléatoires indépendantes

Exercice 3-1

On note X la variable aléatoire qui représente le nombre de fraises produites en une semaine, au printemps, par un plant d'une variété de fraisier. On a observé les valeurs de X avec les fréquences :

nombre de fraises	3	4	5	6	7
fréquence	0,1	0,23	0,36	0,2	0,11

1. Calculez la moyenne E(X) ainsi que l'écart-type σ(X) de X.
2. Donnez la probabilité qu'un plant de fraisier ait une production inférieure ou égale à 5 fraises en une semaine.
3. On note maintenant Y la variable aléatoire représentant le nombre de fraises produites en une semaine par 7 plants de fraisier au printemps. On suppose que les productions de deux fraisiers plantés à proximité sont indépendantes. Donnez la moyenne E(Y) ainsi que l'écart-type σ(Y) de Y.

Solution

1. E(X) = 3×0,1 + 4×0,23 + 5×0,36 + 6×0,2 + 7× 0,11 ≈ 4,99 ≈ 5.
   On calcule d'abord E(X²) = 9×0,1 + 16×0,23 + 25×0,36 + 36×0,2 + 49×0,11 ≈ 26,17,
   puis Var(X) = E(X²) – E(X)² ≈ 26,17 – 4,99² ≈ 1,27,
   et enfin σ(X) ≈ ${\sqrt {1{,}27}}$ ≈ 1,127.
2. p(X ≤ 5) = 0,1 + 0,23 + 0,36 = 0,69.
3. On peut supposer qu'on a numéroté les fraisiers. On peut alors écrire Y = X₁ + X₂ + … + X₇ où X_k représente le nombre de fraises sur le k-ième fraisier. Les X_k suivent toutes la m^rme loi de probabilité que X. On a E(Y) = E(X₁) + E(X₂) + … + E(X₇) = 7E(X) ≈ 35.
   Comme les X_k sont deux à deux indépendants, on Var(Y) = Var(X₁) + Var(X₂) + … + Var(X₇) = 7Var(X) doncσ(Y ) = ${\sqrt {7}}$σ(Y) ≈ 2,982.