Variables aléatoires sur les ensembles finis/Exercices/Jeu télévisé

Exercice 2-1

Pour être sélectionné à un jeu télévisé, un candidat doit satisfaire à deux tests $T_{1}$ et $T_{2}$ indépendants.

La probabilité de satisfaire à $T_{1}$ est $p_{1}=0{,}1$. La probabilité de satisfaire à $T_{2}$ est $p_{2}=0{,}2$.

1. Calculer la probabilité qu'un candidat ne satisfasse ni à $T_{1}$ ni à $T_{2}$.

2. Calculer la probabilité qu'un candidat soit sélectionné.

3. Sur n candidats, calculer la probabilité $q_{n}$ qu'au moins un candidat soit sélectionné.

4. Combien de candidats faut-il prendre pour que la probabilité d’en sélectionner au moins un soit supérieure à 0,99 ?

Solution

1. Notre problème se découpe en quatre cas :

1. Satisfaire $T_{1}$ et $T_{2}$.
2. Satisfaire $T_{1}$ et pas $T_{2}$.
3. Satisfaire pas $T_{1}$ et $T_{2}$.
4. Satisfaire pas $T_{1}$ et pas $T_{2}$.

La probabilité du premier, $Q_{1}$, est $p_{1}*p_{2}$, soit $0,02$, car les évènements sont indépendants. La probabilité du deuxième, $Q_{2}$, est $p_{1}$ moins celle du premier, soit $p_{1}-Q_{1}$, soit $0,08$. De même pour le troisième, $Q_{3}$, $p_{2}-Q_{1}$, soit $0,18$. Et la probabilité du dernier est celle du tout ($1$) moins les trois probabilités précédentes, soit $1-Q_{1}-Q_{2}-Q_{3}$, soit $1-p_{1}-p_{2}+Q_{1}$, soit $1-p_{1}-p_{2}+p_{1}*p_{2}$. On a donc la probabilité cherchée, qui est $0{,}72$.

On peut aussi plus simplement faire que la probabilité d'échouer à $T_{1}$ vaut 1 - 0,1 = 0,9, et celle d'échouer à $T_{2}$ vaut 1 - 0,2 = 0,8. donc la probabilité d'échouer à $T_{1}$ et à $T_{2}$ vaut 0,8×0,9 = 0,72

2. Comme dit plus haut, c'est $p_{1}*p_{2}$, soit 0,02.

3. On cherche la probabilité de l'évènement : « au moins un candidat est sélectionné ». On peut donc calculer la probabilité que premier candidat réussisse, puis que 2 candidats réussissent, puis 3... jusqu'à la probabilité que n candidats réussissent et additionner tous ces résultats. Mais il s'agirait la d'un travail fastidieux !

Pour simplifier la procédure, on va calculer la probabilité de l'évènement « aucun de n candidats n'a été sélectionné ». Cette probabilité est la probabilité qu'un candidat ne soit pas sélectionne : 1 - 0,02 = 0,98, à la puissance n. Donc cette probabilité vaut $0{,}98^{n}$. La probabilité que l'on recherche est l'événement complémentaire, donc sa probabilité vaut $1-0{,}98^{n}$

4. On veut ici que $1-0{,}98^{n}>0{,}99$

$0{,}98^{n}<0{,}01$

$n\ln(0{,}98)<\ln(0{,}01)$ avec $0{,}98<1$ d'où $n\ln(0{,}98)<0$

$n>{\frac {\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}98)}}\approx 227{,}95$

la solution est donc n le plus petit entier au-dessus du résultat obtenu, soit 228.