Vecteurs et droites du plan/Équation cartésienne des droites

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Équation cartésienne des droites
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Chapitre no 4
Leçon : Vecteurs et droites du plan
Chap. préc. :Décomposition d'un vecteur
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Vecteur directeurModifier

DéfinitionModifier

Soit   vecteur et   une droite.

S'il existe deux points   et   tels que   alors on dit que   est un directeur de  .

RemarqueModifier

On dit aussi que   dirige  .

Une droite peut donc être définie par deux points, ou par un point et un vecteur directeur.

PropriétésModifier

Si   est un vecteur directeur de  , donc tout vecteur colinéaire à   est un vecteur directeur de  .

ParallèlismeModifier

Si un vecteur directeur d'une droite est colinéaire à un vecteur directeur à une autre, alors ces deux droites sont parallèles.

Caractérisation d'une droiteModifier

Soit   une droite,   un vecteur directeur de cette droite et   un point de la droite.

Si un point   appartient à la droite  , alors donc   et   sont colinéaires et vice versa.

Vecteur directeur et équation réduiteModifier

Soit   la droite d'équation :  . Le vecteur   est un vecteur directeur de la droite  .

ExempleModifier

Dans un repère   du plan, on considère de la droite   passant par   et de vecteur directeur  .

Donner les coordonnées de deux autres vecteurs directeurs de cette droite.

Si   un vecteur directeur de la droite  , donc tous les vecteurs directeurs de  , sont colinéaires à  . Alors   est un vecteur directeur de   , ou encore   .

Déterminer si les points   et   appartiennent à  .

 
 

Les vecteurs   et   sont colinéaires donc   appartient à  .

 
 


 

Les vecteurs   et   ne sont pas colinéaires donc   n’appartient pas à  .

Équation cartésienne de droiteModifier

ThéorèmeModifier

Toute droite   du plan admet une équation de la forme   avec  ,   et   réels.

Cette équation est une équation cartésienne de la droite  .

RemarqueModifier

L'équation réduite d'une droite est unique. Par contre la droite peut admettre plusieurs équations cartésiennes.

Par exemple, soit   :  . L'équation réduite de   est  .   et   sont aussi des équations cartésiennes de la droite  .

DémonstrationModifier

Soit   et   deux points de   et   un vecteur directeur de  .

Si   et   deux points de  , alors   et   sont colinéaires.

 
 
 

  est une équation cartésienne de la forme   avec  ,   et  .

PropriétéModifier

Soient des réels  ,  ,  ,  ,   et   avec   et  .

  • L'ensemble des points   vérifiant   est une droite de vecteur directeur  .
  • Les droites   et   d'équations respectives :  .

Si   et   sont proportionnels, alors les droites d’équations   et   sont parallèles.

ExempleModifier

Le plan est rapporté au repère  .

On considère les points   et   et le vecteur  .

Exemple no 1Modifier

Déterminer une équation cartésienne de la droite   passant par le point   et de vecteur directeur  .

Solution

Soit  ,   et   un vecteur directeur de  .

 
 

Puisque   et   donc   et   sont colinéaires.

 
  est une équation cartésienne de  .

Exemple no 2Modifier

Déterminer une équation cartésienne de la droite   noté  .

Solution

Soit  .

Puisque   est la droite   donc   et   donc   est un vecteur directeur de  . Avec   donc   et   sont colinéaires.

 
 


 
  est une équation cartésienne de  .

Exemple no 3Modifier

Déterminer une équation cartésienne de la droite, parallèle à l'axe des ordonnées passant par  , noté  .

Soit   et  .

  est parallèle à l'axe des ordonnées qui admet   pour vecteur directeur, donc   est un vecteur directeur de  .

 
 

  donc   et   sont colinéaires.

 
  est une équation cartésienne de  .