Vecteurs et droites du plan/Équation cartésienne des droites
Vecteur directeur modifier
Définition modifier
Soit vecteur et une droite.
S'il existe deux points et tels que alors on dit que est un directeur de .
Remarque modifier
On dit aussi que dirige .
Une droite peut donc être définie par deux points, ou par un point et un vecteur directeur.
Propriétés modifier
Si est un vecteur directeur de , donc tout vecteur colinéaire à est un vecteur directeur de .
Parallèlisme modifier
Si un vecteur directeur d'une droite est colinéaire à un vecteur directeur à une autre, alors ces deux droites sont parallèles.
Caractérisation d'une droite modifier
Soit une droite, un vecteur directeur de cette droite et un point de la droite.
Si un point appartient à la droite , alors donc et sont colinéaires et vice versa.
Vecteur directeur et équation réduite modifier
Soit la droite d'équation : . Le vecteur est un vecteur directeur de la droite .
Exemple modifier
Dans un repère du plan, on considère de la droite passant par et de vecteur directeur .
Donner les coordonnées de deux autres vecteurs directeurs de cette droite.
Si un vecteur directeur de la droite , donc tous les vecteurs directeurs de , sont colinéaires à . Alors est un vecteur directeur de où , ou encore où .
Déterminer si les points et appartiennent à .
Les vecteurs et sont colinéaires donc appartient à .
Les vecteurs et ne sont pas colinéaires donc n’appartient pas à .
Équation cartésienne de droite modifier
Théorème modifier
Toute droite du plan admet une équation de la forme avec , et réels.
Cette équation est une équation cartésienne de la droite .
Remarque modifier
L'équation réduite d'une droite est unique. Par contre la droite peut admettre plusieurs équations cartésiennes.
Par exemple, soit : . L'équation réduite de est . et sont aussi des équations cartésiennes de la droite .
Démonstration modifier
Soit et deux points de et un vecteur directeur de .
Si et deux points de , alors et sont colinéaires.
est une équation cartésienne de la forme avec , et .
Propriété modifier
Soient des réels , , , , et avec et .
- L'ensemble des points vérifiant est une droite de vecteur directeur .
- Les droites et d'équations respectives : .
Si et sont proportionnels, alors les droites d’équations et sont parallèles.
Exemple modifier
Le plan est rapporté au repère .
On considère les points et et le vecteur .
Exemple no 1 modifier
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par le point et de vecteur directeur .
Solution
Soit , et un vecteur directeur de .
Puisque et donc et sont colinéaires.
- est une équation cartésienne de .
Exemple no 2 modifier
Déterminer une équation cartésienne de la droite noté .
Solution
Soit .
Puisque est la droite donc et donc est un vecteur directeur de . Avec donc et sont colinéaires.
- est une équation cartésienne de .
Exemple no 3 modifier
Déterminer une équation cartésienne de la droite, parallèle à l'axe des ordonnées passant par , noté .
Soit et .
est parallèle à l'axe des ordonnées qui admet pour vecteur directeur, donc est un vecteur directeur de .
donc et sont colinéaires.
- est une équation cartésienne de .