Vecteurs et droites du plan/Équation cartésienne des droites

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Équation cartésienne des droites
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Chapitre no 4
Leçon : Vecteurs et droites du plan
Chap. préc. :Décomposition d'un vecteur
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Vecteur directeur modifier

Définition modifier

Soit   vecteur et   une droite.

S'il existe deux points   et   tels que   alors on dit que   est un directeur de  .

Remarque modifier

On dit aussi que   dirige  .

Une droite peut donc être définie par deux points, ou par un point et un vecteur directeur.

Propriétés modifier

Si   est un vecteur directeur de  , donc tout vecteur colinéaire à   est un vecteur directeur de  .

Parallèlisme modifier

Si un vecteur directeur d'une droite est colinéaire à un vecteur directeur à une autre, alors ces deux droites sont parallèles.

Caractérisation d'une droite modifier

Soit   une droite,   un vecteur directeur de cette droite et   un point de la droite.

Si un point   appartient à la droite  , alors donc   et   sont colinéaires et vice versa.

Vecteur directeur et équation réduite modifier

Soit   la droite d'équation :  . Le vecteur   est un vecteur directeur de la droite  .

Exemple modifier

Dans un repère   du plan, on considère de la droite   passant par   et de vecteur directeur  .

Donner les coordonnées de deux autres vecteurs directeurs de cette droite.

Si   un vecteur directeur de la droite  , donc tous les vecteurs directeurs de  , sont colinéaires à  . Alors   est un vecteur directeur de   , ou encore   .

Déterminer si les points   et   appartiennent à  .

 
 

Les vecteurs   et   sont colinéaires donc   appartient à  .

 
 


 

Les vecteurs   et   ne sont pas colinéaires donc   n’appartient pas à  .

Équation cartésienne de droite modifier

Théorème modifier

Toute droite   du plan admet une équation de la forme   avec  ,   et   réels.

Cette équation est une équation cartésienne de la droite  .

Remarque modifier

L'équation réduite d'une droite est unique. Par contre la droite peut admettre plusieurs équations cartésiennes.

Par exemple, soit   :  . L'équation réduite de   est  .   et   sont aussi des équations cartésiennes de la droite  .

Démonstration modifier

Soit   et   deux points de   et   un vecteur directeur de  .

Si   et   deux points de  , alors   et   sont colinéaires.

 
 
 

  est une équation cartésienne de la forme   avec  ,   et  .

Propriété modifier

Soient des réels  ,  ,  ,  ,   et   avec   et  .

  • L'ensemble des points   vérifiant   est une droite de vecteur directeur  .
  • Les droites   et   d'équations respectives :  .

Si   et   sont proportionnels, alors les droites d’équations   et   sont parallèles.

Exemple modifier

Le plan est rapporté au repère  .

On considère les points   et   et le vecteur  .

Exemple no 1 modifier

Déterminer une équation cartésienne de la droite   passant par le point   et de vecteur directeur  .

Solution

Soit  ,   et   un vecteur directeur de  .

 
 

Puisque   et   donc   et   sont colinéaires.

 
  est une équation cartésienne de  .

Exemple no 2 modifier

Déterminer une équation cartésienne de la droite   noté  .

Solution

Soit  .

Puisque   est la droite   donc   et   donc   est un vecteur directeur de  . Avec   donc   et   sont colinéaires.

 
 


 
  est une équation cartésienne de  .

Exemple no 3 modifier

Déterminer une équation cartésienne de la droite, parallèle à l'axe des ordonnées passant par  , noté  .

Soit   et  .

  est parallèle à l'axe des ordonnées qui admet   pour vecteur directeur, donc   est un vecteur directeur de  .

 
 

  donc   et   sont colinéaires.

 
  est une équation cartésienne de  .