Vecteurs et droites du plan/Équation cartésienne des droites

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Vecteur directeur

Définition

Soit ${\vec {u}}$ vecteur et $d$ une droite.

S'il existe deux points $A$ et $B$ tels que ${\vec {u}}={\vec {AB}}$ alors on dit que ${\vec {u}}$ est un directeur de $d$.

Remarque

On dit aussi que ${\vec {u}}$ dirige $d$.

Une droite peut donc être définie par deux points, ou par un point et un vecteur directeur.

Propriétés

Si ${\vec {u}}$ est un vecteur directeur de $d$, donc tout vecteur colinéaire à ${\vec {u}}$ est un vecteur directeur de $d$.

Parallèlisme

Si un vecteur directeur d'une droite est colinéaire à un vecteur directeur à une autre, alors ces deux droites sont parallèles.

Caractérisation d'une droite

Soit $d$ une droite, ${\vec {u}}$ un vecteur directeur de cette droite et $A$ un point de la droite.

Si un point $M$ appartient à la droite $d$, alors donc ${\vec {u}}$ et ${\vec {AM}}$ sont colinéaires et vice versa.

Vecteur directeur et équation réduite

Soit $d$ la droite d'équation : $y=ax+b$. Le vecteur ${\vec {u}}{\begin{pmatrix}1\\a\end{pmatrix}}$ est un vecteur directeur de la droite $d$.

Exemple

Dans un repère $(O;{\vec {i}};{\vec {j}})$ du plan, on considère de la droite $d$ passant par $A(0;2)$ et de vecteur directeur ${\vec {u}}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$.

Donner les coordonnées de deux autres vecteurs directeurs de cette droite.

Si ${\vec {u}}$ un vecteur directeur de la droite $d$, donc tous les vecteurs directeurs de $d$, sont colinéaires à ${\vec {u}}$. Alors ${\vec {v}}{\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}}$ est un vecteur directeur de $d$ où ${\vec {v}}=2{\vec {u}}$, ou encore ${\vec {w}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ où ${\vec {w}}=-{\vec {u}}$.

Déterminer si les points $M(-1;3)$ et $N(5;-2)$ appartiennent à $d$.

${\vec {AM}}{\begin{pmatrix}-1-0\\3-2\end{pmatrix}}$

${\vec {AM}}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\vec {u}}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$

Les vecteurs ${\vec {AM}}$ et ${\vec {u}}$ sont colinéaires donc $M$ appartient à $d$.

${\vec {AN}}{\begin{pmatrix}5-0\\-2-2\end{pmatrix}}$

${\vec {AN}}{\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}}$

$5\times 1-(-4)\times (-1)=4-5\neq 0$

Les vecteurs ${\vec {AN}}$ et ${\vec {u}}$ ne sont pas colinéaires donc $N$ n’appartient pas à $d$.

Équation cartésienne de droite

Théorème

Toute droite $d$ du plan admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ avec $a$, $b$ et $c$ réels.

Cette équation est une équation cartésienne de la droite $d$.

Remarque

L'équation réduite d'une droite est unique. Par contre la droite peut admettre plusieurs équations cartésiennes.

Par exemple, soit $d$ : $2x-y+3=0$. L'équation réduite de $d$ est $y=2x+3$. $-2x+y-3=0$ et $4x-2y+6=0$ sont aussi des équations cartésiennes de la droite $d$.

Démonstration

Soit $A(x_{O};y_{O})$ et $M(x;y)$ deux points de $d$ et ${\vec {u}}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$ un vecteur directeur de $d$.

Si $A$ et $M$ deux points de $d$, alors ${\vec {AM}}{\begin{pmatrix}x-x_{O}\\y-y_{O}\end{pmatrix}}$ et ${\vec {u}}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$ sont colinéaires.

$(x-x_{O})\times \beta -(y-y_{O})\times \alpha =0$

$\beta x-\beta x_{O}-\alpha y+\alpha y_{O}=0$

$\beta x-\alpha y-\beta x_{O}+\alpha y_{O}=0$

$\beta x-\alpha y-\beta x_{O}+\alpha y_{O}=0$ est une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ avec $a=\beta$, $b=-\alpha$ et $c=-\beta x_{O}+\alpha y_{O}$.

Propriété

Soient des réels $a$, $b$, $c$, $a\prime$, $b\prime$ et $c\prime$ avec $(a;b)\neq (0;0)$ et $(a\prime ;b\prime )\neq (0;0)$.

• L'ensemble des points $M(x;y)$ vérifiant $ax+by+c=0$ est une droite de vecteur directeur ${\vec {u}}{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}$.
• Les droites $d$ et $d\prime$ d'équations respectives : $ax+by+c=0$.

Si $(a;b)$ et $(a\prime ;b\prime )$ sont proportionnels, alors les droites d’équations $ax+by+c=0$ et $a\prime x+b\prime y+c=0$ sont parallèles.

Exemple

Le plan est rapporté au repère $(O;I;J)$.

On considère les points $A(0;2)$ et $B(3;1)$ et le vecteur ${\vec {u}}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$.

Exemple n^o 1

Déterminer une équation cartésienne de la droite $d_{1}$ passant par le point $A$ et de vecteur directeur ${\vec {u}}$.

Solution

Soit $M(x;y)\in d_{1}$, $A\in d_{1}$ et ${\vec {u}}$ un vecteur directeur de $d_{1}$.

${\vec {AM}}{\begin{pmatrix}x-0\\y-2\end{pmatrix}}={\vec {AM}}{\begin{pmatrix}x\\y-2\end{pmatrix}}$

${\vec {u}}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$

Puisque $M\in d_{1}$ et $A\in d_{1}$ donc ${\vec {AM}}$ et ${\vec {u}}$ sont colinéaires.

$x\times 1-(y-2)\times 2=0$

$x-2y+4=0$ est une équation cartésienne de $d_{1}$.

Exemple n^o 2

Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ noté $d_{2}$.

Solution

Soit $M(x;y)\in d_{2}$.

Puisque $d_{2}$ est la droite $(AB)$ donc $A\in d_{2}$ et $B\in d_{2}$ donc ${\vec {AB}}$ est un vecteur directeur de $d_{2}$. Avec $M\in d_{1}$ donc ${\vec {AM}}$ et ${\vec {AB}}$ sont colinéaires.

${\vec {AM}}{\begin{pmatrix}x\\y-2\end{pmatrix}}$

${\vec {AB}}{\begin{pmatrix}3-0\\1-2\end{pmatrix}}={\vec {AB}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}$

$x\times (-1)-(y-2)\times 3=0$

$-x-3y+6=0$ est une équation cartésienne de $d_{2}$.

Exemple n^o 3

Déterminer une équation cartésienne de la droite, parallèle à l'axe des ordonnées passant par $B$, noté $d_{3}$.

Soit $M(x;y)\in d_{3}$ et $B\in d_{3}$.

$d_{3}$ est parallèle à l'axe des ordonnées qui admet ${\vec {j}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ pour vecteur directeur, donc ${\vec {j}}$ est un vecteur directeur de $d_{3}$.

${\vec {BM}}{\begin{pmatrix}x-3\\y-1\end{pmatrix}}$

${\vec {j}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

$M\in d_{3}$ donc ${\vec {BM}}$ et ${\vec {j}}$ sont colinéaires.

$(x-3)\times 1-(y-1)\times 0=0$

$x-3=0$ est une équation cartésienne de $d_{3}$.