Vecteurs et droites du plan/Décomposition d'un vecteur

Début de la boite de navigation du chapitre
Décomposition d'un vecteur
Icône de la faculté
Chapitre no 3
Leçon : Vecteurs et droites du plan
Chap. préc. :Colinéarité
Chap. suiv. :Équation cartésienne des droites
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Vecteurs et droites du plan : Décomposition d'un vecteur
Vecteurs et droites du plan/Décomposition d'un vecteur
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Base modifier

Définition modifier

Soit   et   deux vecteurs non colinéaires.

Le couple   est appelé la base du plan.

Rémarque modifier

Dès qu'on a trois points non alignés, on a une base de plan.

Exemple modifier

Soit   un triangle non aplati, alors le couple   est une base de plan.

Décomposition modifier

Définition modifier

Soit   et   deux vecteurs non colinéaires.

Pour tout vecteur   du plan, il existe un unique couple   de réels tels que  .

Exemple modifier

Soit   un triangle non aplati. Les points   et   sont tels que   et  .

Démontrer que les points  ,   et   sont alignés.

Solution

 
 
 
 
 


 
 
 

  donc   et   sont colinéaires et les points  ,   et   sont alignés.

Repère modifier

Définition modifier

Soit   un point de plan et   et   deux vecteurs non colinéaires de ce plan : l'ensemble de ces trois données définit un repère, noté  .

Pour tout point   du plan, il existe un unique couple   de réels tel que  .

On traduit cela par :   a pour coordonnées   dans le repère  .

Exemple modifier

Soit   et   deux parallélogrammes tels que  .

Déterminer les coordonnées de   et   dans le repère  .

Solution

Soit   un repère où  ,   et  .

 
   est un parallélogramme donc  

Donc  

 
   et   sont des parallélogrammes donc   et  

Donc