Vecteurs et droites du plan/Décomposition d'un vecteur

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Décomposition d'un vecteur
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Chapitre no 3
Leçon : Vecteurs et droites du plan
Chap. préc. :Colinéarité
Chap. suiv. :Équation cartésienne des droites
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BaseModifier

DéfinitionModifier

Soit   et   deux vecteurs non colinéaires.

Le couple   est appelé la base du plan.

RémarqueModifier

Dès qu'on a trois points non alignés, on a une base de plan.

ExempleModifier

Soit   un triangle non aplati, alors le couple   est une base de plan.

DécompositionModifier

DéfinitionModifier

Soit   et   deux vecteurs non colinéaires.

Pour tout vecteur   du plan, il existe un unique couple   de réels tels que  .

ExempleModifier

Soit   un triangle non aplati. Les points   et   sont tels que   et  .

Démontrer que les points  ,   et   sont alignés.

Solution

 
 
 
 
 


 
 
 

  donc   et   sont colinéaires et les points  ,   et   sont alignés.

RepèreModifier

DéfinitionModifier

Soit   un point de plan et   et   deux vecteurs non colinéaires de ce plan : l'ensemble de ces trois données définit un repère, noté  .

Pour tout point   du plan, il existe un unique couple   de réels tel que  .

On traduit cela par :   a pour coordonnées   dans le repère  .

ExempleModifier

Soit   et   deux parallélogrammes tels que  .

Déterminer les coordonnées de   et   dans le repère  .

Solution

Soit   un repère où  ,   et  .

 
   est un parallélogramme donc  

Donc  

 
   et   sont des parallélogrammes donc   et  

Donc