Vecteurs et droites du plan/Colinéarité

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Colinéarité
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Chapitre no 2
Leçon : Vecteurs et droites du plan
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Définition

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Soit   et   deux vecteurs.

S'il existe un réel   non nul tel que  , alors   et   sont colinéaires.

Propriété

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Soit   un repère et   et   deux vecteurs de ce repère.

Si les coordonnées des vecteurs   et   sont proportionnelles, c'est-à-dire si  , alors   et   sont colinéaires.

Autrement dit, si   et   sont colinéaires, alors   et vice versa.

Exemples

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Exemple no 1

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Montrer que   et   sont colinéaires.

Solution

 
 
 

Donc   et   sont colinéaires.

Exemple no 2

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Déterminer le(s) réel(s)   tel(s) que les vecteurs   et   sont colinéaires.

Solution

  et   sont colinéaires, donc :

 
 
 
 
 

Application

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Propriété

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Soient  ,   et   trois points du plan.

Si les vecteurs   et   sont colinéaires, alors  ,   et   sont alignés.

Soient  ,  ,   et   quatre points du plan.

Si les vecteurs   et   sont colinéaires, alors les droites   et   sont parallèles.

Exemple

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Dans un repère  , on donne  ,  ,   et  . Montrer que le quadrilatère   est un trapèze.

Solution

 
 

et

 
 


 
 

Les vecteurs   et   sont colinéaires, donc les droites   et   sont parallèles.