Vecteurs et droites du plan/Exercices/Équations de droites
Exercice 3-1
modifierDéterminer une équation cartésienne de la droite :
- passant par le point et parallèle à la droite d'équation : ;
- passant par le point et parallèle à la droite d'équation : ;
- passant par et dirigée par ;
- passant par les points et .
-
Soit et d’une droite d'équation cartésienne avec , et . Les droites et sont parallèles donc est un vecteur directeur de et de avec .
donc et sont colinéaires, donc :
- est une équation cartésienne de la droite .
-
Soit et d’une droite d'équation cartésienne réduite avec et . Les droites et sont parallèles donc est un vecteur directeur de et de avec .
donc et sont colinéaires, donc :
- est une équation cartésienne de la droite .
- .
- .
Déterminer une équation cartésienne et une paramétrisation de la droite :
- passant par et dirigée par ;
- passant par et dirigée par ;
- passant par et parallèle à la droite joignant les points et ;
- passant par et parallèle à la droite joignant les points et .
-
- .
- .
-
- .
- .
-
- .
- En éliminant : .
-
- .
- En éliminant : .
Exercice 3-2
modifierDans , on considère les droites et d'équations respectives : et .
- Les droites et sont-elles parallèles ? Si non, déterminer les coordonnées de leur d'intersection.
- Déterminer une équation de la droite de coefficient et passant par le point .
- Les droites et sont-elles parallèles ? Si non, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
-
et sont donc sécantes, au point . - .
- ( ) et ( ) sont strictement parallèles.
Exercice 3-3
modifierDans le plan muni d'un repère, on considère les points , , et .
Donner une équation cartésienne de la droite vectorielle engendrée par le vecteur . On note le milieu du segment et le point tel que .
Le but de cet exercice est de démontrer que les droites , et sont concourantes.
- Justifier que les points , et sont alignés.
-
- Démontrer que la droite a pour équation cartésienne .
- Démontrer une équation cartésienne de la droite .
- Justifier que les droites et sont sécantes en un point dont on déterminera les coordonnées.
- Montrer alors que les droites , et sont concourantes.
-
-
-
est le milieu de donc
- est une équation cartésienne de .
-
Soit et est un vecteur directeur de . Donc et sont colinéaires.
- est une équation cartésienne de .
-
et sont des droites d'équation cartésienne respectives , , , , et .
-
est le milieu de donc
-
est un vecteur directeur de la droite .
- est une équation cartésienne de
Exercice 3-4
modifierSoient deux réels, non tous deux nuls. Donner une équation cartésienne de la droite vectorielle de engendrée par le vecteur .
Un vecteur appartient à cette droite si et seulement s'il est colinéaire au vecteur , ce qui se traduit par la nullité du déterminant :
- .
Exercice 3-5
modifierÉcrire un paramétrage de la droite affine de passant par deux points distincts et , de coordonnées respectives et .
se traduit en coordonnées par .
Exercice 3-6
modifierOn considère les ensembles et .
- Démontrer que ce sont des droites affines.
- Donner quelques exemples de points (par leurs coordonnées) et de vecteurs directeurs de et .
- Montrer que .
- Donner un exemple de paramétrage d'une droite strictement parallèle à celle-ci.
- et .
- Par exemple, et donnent et l'on retrouve ainsi le vecteur directeur . De même, et l'on retrouve ainsi le vecteur directeur .
- et on même direction et ont au moins un point commun, par exemple .
- .