Vecteurs et droites du plan/Exercices/Décomposition de vecteurs

Exercice n^o 1

1. Les vecteurs ${\vec {u}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}-2\\{\sqrt {3}}+2\end{pmatrix}}$ et ${\vec {v}}{\begin{pmatrix}4{\sqrt {3}}-7\\1\end{pmatrix}}$ sont-ils colinéaires ?
2. Soit $A(1;4)$, $B(-1;1)$, $C(1;2)$ et $D(-3;y)$. Déterminer la valeur de $y$ pour que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles.

Solution

1. $({\sqrt {3}}-2)\times 1-({\sqrt {3}}+2)(4{\sqrt {3}}-7)$

   $\Leftrightarrow {\sqrt {3}}-2-(4({\sqrt {3}})^{2}-7{\sqrt {3}}+8{\sqrt {3}}-14)$

   $\Leftrightarrow {\sqrt {3}}-2-(12+{\sqrt {3}}-14)$

   $\Leftrightarrow {\sqrt {3}}-2-({\sqrt {3}}-2)=0$

   donc ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont colinéaires.
2. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles donc les vecteurs ${\vec {AB}}$ et ${\vec {CD}}$ sont colinéaires.

   ${\vec {AB}}{\begin{pmatrix}-1-1\\1-4\end{pmatrix}}={\vec {AB}}{\begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}}$

   ${\vec {CD}}{\begin{pmatrix}-3-1\\2-y\end{pmatrix}}={\vec {AB}}{\begin{pmatrix}-4\\2-y\end{pmatrix}}$

   $-2\times (2-y)-(-3)\times (-4)=0$

   $\Leftrightarrow -4+2y-12=0$

   $\Leftrightarrow 2y=16$

   $\Leftrightarrow y=8$

 

Exercice n^o 2

Dans un triangle non aplati $ABC$, on considère les points $I$, $J$ et $K$ tels que $I$ soit le milieu du segment $[AB]$, $J$ celui du segment $[CI]$ et $K$ est tel que ${\vec {CK}}={\frac {1}{3}}{\vec {CB}}$.

On considère le repère $(A;{\vec {AB}};{\vec {AC}})$.

1. Déterminer les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $I$ et $J$ dans ce repère.
2. En utilisant la relation ${\vec {CK}}={\frac {1}{3}}{\vec {CB}}$, déterminer les coordonnées du point $K$.
3. Démontrer que les points $A$, $J$ et $K$ sont alignés et préciser la position du point $J$ sur le segment $[AK]$.

Solution

1. Dans le repère $(A;{\vec {AB}};{\vec {AC}})$ :
   • $A$ est l'origine du repère donc $A(0;0)$
   • ${\vec {AB}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ donc $B(1;0)$
   • ${\vec {AC}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ donc $C(0;1)$
   $I$ est le milieu de $[AB]$ donc ${\vec {AI}}={\frac {1}{2}}{\vec {AB}}$ donc $I({\frac {1}{2}};0)$. $J$ est le milieu de $[CI]$ donc ${\vec {CJ}}={\frac {1}{2}}{\vec {CI}}$. Pour trouver les coordonnées de $J$ dans le repère $(A;{\vec {AB}};{\vec {AC}})$, il faut exprimer ${\vec {AJ}}$ en fonction de ${\vec {AB}}$ et ${\vec {AC}}$.

   ${\vec {CJ}}={\vec {CA}}+{\vec {AJ}}$

   et

   ${\vec {CI}}={\vec {CA}}+{\vec {AI}}={\vec {CA}}+{\frac {1}{2}}{\vec {AB}}$

   donc

   ${\vec {CA}}+{\vec {AJ}}={\frac {1}{2}}({\vec {CA}}+{\frac {1}{2}}{\vec {AB}})$

   $\Leftrightarrow {\vec {AJ}}={\frac {1}{2}}({\vec {CA}}+{\frac {1}{2}}{\vec {AB}})-{\vec {CA}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {AJ}}={\frac {1}{2}}{\vec {CA}}+{\frac {1}{4}}{\vec {AB}}-{\vec {CA}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {AJ}}={\frac {-1}{2}}{\vec {AC}}+{\frac {1}{4}}{\vec {AB}}+{\vec {AC}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {AJ}}={\frac {1}{4}}{\vec {AB}}+{\frac {1}{2}}{\vec {AC}}$

   donc $J({\frac {1}{4}};{\frac {1}{2}})$.
2. Pour trouver les coordonnées de $K$ dans le repère $(A;{\vec {AB}};{\vec {AC}})$, il faut exprimer ${\vec {AK}}$ en fonction de ${\vec {AB}}$ et ${\vec {AC}}$.

   ${\vec {CK}}={\frac {1}{3}}{\vec {CB}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {CA}}+{\vec {AK}}={\frac {1}{3}}({\vec {CA}}+{\vec {AB}})$

   $\Leftrightarrow {\vec {AK}}={\frac {1}{3}}{\vec {CA}}+{\frac {1}{3}}{\vec {AB}}-{\vec {CA}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {AK}}={\frac {-1}{3}}{\vec {AC}}+{\frac {1}{3}}{\vec {AB}}+{\vec {AC}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {AK}}={\frac {1}{3}}{\vec {AB}}+{\frac {2}{3}}{\vec {AC}}$

   donc $J({\frac {1}{3}};{\frac {2}{3}})$.

3. ${\vec {AJ}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

   ${\vec {AK}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}\\{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}$

   ${\frac {1}{4}}\times {\frac {2}{3}}-{\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{3}}={\frac {1}{6}}-{\frac {1}{6}}=0$

   Donc ${\vec {AJ}}$ et ${\vec {AK}}$ sont colinéaires donc les points $A$, $J$ et $K$ sont alignés.

   ${\frac {3}{4}}{\vec {AK}}={\frac {3}{4}}({\frac {1}{3}}{\vec {AB}}+{\frac {2}{3}}{\vec {AC}})$

   ${\frac {3}{4}}{\vec {AK}}={\frac {1}{4}}{\vec {AB}}+{\frac {1}{2}}{\vec {AC}}={\vec {AJ}}$

   donc ${\vec {AJ}}={\frac {3}{4}}{\vec {AK}}$

 

Exercice n^o 3

Soit les points $A(6;2)$, $B(4;5)$ et $C(10;{\frac {5}{2}})$.

1. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que ${\vec {AD}}=2{\vec {AC}}+{\vec {AB}}$.
2. Déterminer les coordonnées du point $E$ tel que ${\vec {BE}}=2{\vec {BC}}+3{\vec {AB}}$.
3. Déterminer que $ABED$ est un parallélogramme.
4. Calculer les longueurs $BD$ et $AE$. Que pouvez-vous en déduire pour le parallélogramme $ABED$ ?

Solution

1. ${\vec {AB}}{\begin{pmatrix}4-6\\5-2\end{pmatrix}}={\vec {AB}}{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}$

   ${\vec {AC}}{\begin{pmatrix}10-6\\{\frac {5}{2}}-2\end{pmatrix}}={\vec {AC}}{\begin{pmatrix}4\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

   ${\vec {AD}}{\begin{pmatrix}x-6\\y-2\end{pmatrix}}$

   On a ${\vec {AD}}=2{\vec {AC}}+{\vec {AB}}$ donc

   ${\begin{cases}x-6=2\times 4+(-2)\\y-2=2\times {\frac {1}{2}}+3\end{cases}}$

   $\Leftrightarrow {\begin{cases}x=8-2+6\\y=1+3+2\end{cases}}$

   $\Leftrightarrow {\begin{cases}x=12\\y=6\end{cases}}$

   donc $D(12;6)$.

2. ${\vec {AB}}{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}$

   ${\vec {BC}}{\begin{pmatrix}10-4\\{\frac {5}{2}}-5\end{pmatrix}}={\vec {BC}}{\begin{pmatrix}6\\{\frac {-5}{2}}\end{pmatrix}}$

   ${\vec {BE}}{\begin{pmatrix}x-4\\y-5\end{pmatrix}}$

   On a ${\vec {BE}}=2{\vec {BC}}+3{\vec {AB}}$ donc

   ${\begin{cases}x-4=2\times 6+3\times (-2)\\y-5=2\times {\frac {-5}{2}}+3\times 3\end{cases}}$

   $\Leftrightarrow {\begin{cases}x=12-6+4\\y=-5+9+5\end{cases}}$

   $\Leftrightarrow {\begin{cases}x=10\\y=9\end{cases}}$

   donc $E(10;9)$.

3. ${\vec {AB}}{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}$

   ${\vec {DE}}{\begin{pmatrix}10-12\\9-6\end{pmatrix}}={\vec {DE}}{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}$

   On a ${\vec {AB}}={\vec {DE}}$ donc $ABED$ est un parallélogramme.

4. ${\vec {BD}}{\begin{pmatrix}12-4\\6-5\end{pmatrix}}={\vec {BD}}{\begin{pmatrix}8\\1\end{pmatrix}}$

   donc $BD={\sqrt {8^{2}+1^{2}}}={\sqrt {64+1}}={\sqrt {65}}$

   ${\vec {AE}}{\begin{pmatrix}10-6\\9-2\end{pmatrix}}={\vec {AE}}{\begin{pmatrix}4\\7\end{pmatrix}}$

   donc $AE={\sqrt {4^{2}+7^{2}}}={\sqrt {16+49}}={\sqrt {65}}$ $ABED$ est un parallélogramme et $AE=BD$ donc c'est un rectangle.

 

Exercice n^o 4

On considère un parallélogramme $ABCD$ de centre $O$.

Montrer que pour tout point $M$ du plan, on a ${\vec {MA}}+{\vec {MB}}+{\vec {MC}}+{\vec {MD}}=4{\vec {MO}}$.

Solution

${\vec {MA}}+{\vec {MB}}+{\vec {MC}}+{\vec {MD}}={\vec {MO}}+{\vec {OA}}+{\vec {MO}}+{\vec {OB}}+{\vec {MO}}+{\vec {OC}}+{\vec {MO}}+{\vec {OD}}$

$\Leftrightarrow {\vec {MA}}+{\vec {MB}}+{\vec {MC}}+{\vec {MD}}=4{\vec {MO}}+{\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}+{\vec {OD}}$

$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$ donc $O$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$, donc ${\vec {AO}}={\vec {OC}}$ et ${\vec {BO}}={\vec {OD}}$.

donc :

${\vec {MA}}+{\vec {MB}}+{\vec {MC}}+{\vec {MD}}=4{\vec {MO}}+{\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {AO}}+{\vec {BO}}$

$\Leftrightarrow {\vec {MA}}+{\vec {MB}}+{\vec {MC}}+{\vec {MD}}=4{\vec {MO}}$